Tiểu luận Tôpô thương đối với một ánh xạ

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÔPÔ THƯƠNG

Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tôpô ,Y là tập hợp khác rỗng, ánh xạ f: X Y là toàn ánh liên tục, gọi

+ = {U CY,frl(U) mỡ trongX}

khi đổ 8, là tôpô trên Y gọi là tôpô thường đối với f.

Thật vậy: • 0 = |-|(0) mỡ trong X vậy 0 6 • f-(Y) = X – mo=YE M. • U, U E UFUNU) = f'(U) nf-(U2) -mo=U NU E U.

• {U},i € 1} CU; + f-'(U:) må vi EI, F (UU) = UF-1(U:) là mở, sily ra UU, /

Điều này chứng tỏ , là tôpô trên Y.

Ví dụ 1.2. • Không gian xạ ảnh thực BP = {Các không gian tới 1 chiều của R"}}} Xét phép chiếu p: Rn+'\{0} RP7, P(x) = [2] = ar, a R, là toàn ánh Tên ta có RP” là không gian tôpô Với tôpô thương đối với ánh xạ p. • Không gian xạ ảnh phức EP" = {Các không gian con 1 chiều của C7+1}.

Tương tự, xét phép chiếu 4: Cr+ \{0} – CP", (x) = [x] = {ar, a + R} là | tck II án và ta cũng có CP" là không gian tổ Với tôpô tư 11g tối Với q. • Clio X là không gian tôpô – là quan hệ tương đương trên X, thật Y = X/ là tập thương gồm tất cả các lớp tương đương của T6 X, khi đó Y là không gian tôpô với tôpô thương đối với phép chiếu p: X 4Y.

Định lý 1.3. Cho X,Z là hai không gian tôpô ,Y là tập hợp, f: X =Y. là toàn cầu, giả sử rằng Y là không gian tôpô với tôpô ta tưởng đối với f khi đó ánh mì gìY – Z liên tục khi và chỉ khi g of :

X Z liên tục.