Tiểu luận Định lý chuẩn bị Weierstrass và ứng dụng

BË GIO DÖC V€ ffi€O T„O
TR×ÍNG ffi„I HÅC QUY NHÌN
*********
HÀ DUY NGHĨA
ĐỊNH LÝ CHUẨN BỊ WEIERSTRASS
VÀ ỨNG DỤNG
TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT KỲ DỊ
Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
iBË GIO DÖC V€ ffi€O T„O
TR×ÍNG ffi„I HÅC QUY NHÌN
*********
HÀ DUY NGHĨA
ĐỊNH LÝ CHUẨN BỊ WEIERSTRASS
VÀ ỨNG DỤNG
CAO HỌC TOÁN KHÓA 11
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT KỲ DỊ
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN CÔNG TRÌNH
Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 Định lý chuẩn bị Weierstrass 2
1.1 Đa thức Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Định lý chuẩn bị Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 2 Ứng Dụng 9
2.1 Khai triển Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Phép tham số hóa đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1LỜI MỞ ĐẦU
Cấu trúc tôpô của đường cong phẳng là một chuyên đề toán học được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và có nhiều kết quả hay, cụ thể là
nó thể hiện trong nhiều tài liệu như cuốn Plane Algebraic Curves của tác giả
Brieskorn, cuốn Introduction to algebraic curves của tác giả Griffiths ...
Đối với bản thân tôi là học viên cao học, tôi chọn đề tài tiểu luận" Định lý
chuẩn bị Weierstrass và ứng dụng " nhằm tìm hiểu sâu hơn về vấn đề tham số
hóa của đường cong cũng như sự phân tích của đường cong tổng quát thành
các đường cong bất khả quy,.. nhằm để kết thúc bộ môn Lý thuyết kỳ dị.
Tiểu luần gồm 2 chương cùng với phần mở đầu và kết luận.
Chương 1: Nói về định lý chuẩn bị Weierstrass, các định lý chia đa thức
và mối liên hệ giữa chúng.
Chương 2: Là phần ứng dụng của định lý chuẩn bị cho việc chứng minh
một đường cong tổng quát nào đó đều có thể tham số hóa được.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong học tập, nghiên cứu và được sự
hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản
thân và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để tiểu luận
được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn TS Lê Công Trình người đã tận tình
giúp đỡ, cùng tập thể lớp cao học toán khoá 11 tạo điều kiện cho tôi hoàn
thành tiểu luận này.
Quy Nhơn, tháng 5 năm 2010
Hà Duy nghĩa
2Chương 1
ĐỊNH LÝ CHUẨN BỊ WEIERSTRASS
Trong chương này phần 1.1 Đa thức Weierstrass được trình bày theo tài
liệu [2],phần 1.2 Định lý chuẩn bị Weierstrass trình bày theo tài liệu[1].
1.1 Đa thức Weierstrass
Gọi C{x}, (C{x, y}) tương ứng là vành các hàm chỉnh hình trên lân cận
của 0 ∈ C(0; 0) ∈ C2 nghĩa là
C{x} = {Các chuỗi lũy thừa hội tụ có dạng f = ∑∞m=0 amxm}
C{x, y} = {Các chuỗi lũy thừa hội tụ có dạngf = ∑∞m,n=0 amnxmyn}
trong đó mỗi chuỗi lũy thừa có thể có bán kính hội tụ khác nhau.
Định nghĩa 1.1.1. Đa thức w ∈ C{x, y} gọi là đa thức Weierstrass theo
biến y (y−tổng quát) nếu
w = yd + a1(x).yd−1 + ...+ ad(x). (1.1)
trong đó aj(x) ∈ C{x}, aj(0) = 0, (j = 1, ..., d).
Nhận xét: Giả sử f ∈ C{x, y} khác đơn vị và f(0, y) không đồng nhất 0,
ta có thể viết:
f(0, y) = byd + b1yd−1 + ...
trong đó b 6= 0, d ≥ 1. Từ thực tế, phần tử không củaf(0, y) là phần tử cô
lập, nên ta giả sử rằng trong miền |y| < ε. f(0, y) không chứa phần tử không
ngay cả y = 0. Do đó ta giả sử trong đường tròn |y| = ε có |f(0, y)| ≥ c > 0.
Do đó, với mỗi ρ đủ nhỏ, ρ > 0, |x| 0.
3Bổ đề 1.1.2. Với những điều kiện như trên và với |x| < ρ thì f(x, y) và một
hàm theo y có số các không điểm như nhau trên miền |y| < ε.
Chứng minh. Bổ đề này suy trực tiếp từ nguyên lý argument trong giải tích
phức.
Do vậy với mỗi x cố định (|x| < ε) giả sử yν(x)(ν = 1, ..d) là d không điểm
củaf(x, y) = 0, ta xây dựng đa thức:
w(x, y) = ∏dν=1(y − y0(x))
= yd + ..+ a1(x)yd−1 + ..+ ad(x)
trong đó:
a1(x) = −∑dµ=1 yµ(x)
a2(x) = −∑d1<µ<0≤d yµ(x)yν(x)
.................
là những hàm đố xứng sơ cấp theo yν(x)(ν = 1, ...d).
Bổ đề 1.1.3. Đa thức w(x, y)được xây dựng như trên là đa thức Weierstrass.
Chứng minh. Ta biết rằng mỗi hàm đối xứng sơ cấp có thể biểu diễn bởi một
đa thức Newtơn đối xứng
a1(x) = −δ(x)
a2(x) = 12 [(δ1(x))
2 − δ2(x)]
...................
trong đó:
δ1(x) =
∑
µ yµ(x)
δ2(x) =
∑
µ(yµ(x))2
............................
δd(x) =
∑
µ(yµ(x))d
là những đa thức Newtơn đối xứng theo yµ(x), (µ = 1, .., d)..
Do vậy, chúng ta cần chứng minh rằng mỗi δk(k = 1, ..d) là hàm chỉnh
hình theo x. Thật vậy, điều này suy trực tiếp từ định lý thặng dư cho biểu
4diễn của
δk(x) =
1
2pii
∮
|y|=ε
yk
fy(x, y)
f.(x, y)dy.
1.2 Định lý chuẩn bị Weierstrass
Bổ đề 1.2.1 (Special division theorem ,[1] p.340).
Gọi pk(t, y) ∈ C{y1, .., yk}[t] là đa thức k−tổng quát, tức là
pk(t, y) = tk +
k∑
i=1
yit
k−i
Khi đó mỗi f(t, z, y) ∈ C{t, y, z} tồn tại q ∈ C{t, z, y} và đa thức r(t, y, z) =
k∑
i=1
Ai(z, y).tk−i bậc 6 k − 1 trên C{z, y} sao cho
f = q.pk + r.
Chứng minh. Phép chứng minh chia làm 3 bước:
Bước 1 :Chứng minh trường hợp pk = t − xi tức là ta phải chứng minh với
mỗi ∈ C{t, z, x1, ..., xk} luôn tồn tại Q ∈ C{t, z, x} và R ∈ C{z, x} sao cho
F = Q(t− xi) +R.
Thật vậy, nếu đặt R(z, x) := F (xi, z, x) thì t− xi chia hết chuỗi F −R =
F (t, z, x)− F (xi, z, x), hay F = Q(t− xi) +R.
Bước 2: Chứng minh cho trường hợp Pk = (t− x1)(t− x2)...(t− xk), tức là
ta phải chứng minh với mỗi F ∈ C(t, z, x1...xk) tồn tại Q ∈ C{t, z, x} và một
đa thức R ∈ C{z, x}[t] bậc < k sao cho F = Q(t− x1)(t− x2)...(t− xk) +R
trong đó Q,R duy nhất.
Thật vậy, theo bước 1 ta có:
F = Q1(t− x1) +R1. (Q1 ∈ C{t, z, x}, R1 ∈ C{x, z})
Q1 = Q2(t− x2) +R2. (Q2 ∈ C{t, z, x}, R2 ∈ C{x, z})
...
Qk−1 = Qk(t− xk) +Rk. (Qk ∈ C{t, z, x}, Rk ∈ C{x, z})
5thay thế lần lượtQk−i(i = 1, ..., k − 2) vào Q1 ta được:
F = Qk(t−x1)(t−x2)...(t−xk)+R1+(t−x1)R2+...+(t−x1)(t−x2)+...+(t−xk−1)Rk
do đó với Q := Qk, R = R1+(t−x1)R2+...+(t−x1)(t−x2)+...+(t−xk−1)Rk
ta có:
F = Q.(t− x1)...(t− xk) +R.
Sự duy nhất của Q và R sẽ được trình bày trong phần chứng minh sau.
Bước 3. Gọi δi(x) là hàm đối xứng thứ n của các phần tử x1, ..., xk, ta thế
yi = δi(x) vào biểu thức Pk(t, y) = tk + y1tk−1 + ...+ yk
= (t− x1)(t− x2)...(t− xk).
Tiếp theo đặt: F (t, z, x) = f(t, z, δ1(x), ..., δk(x)) khi đó ta có thể chia
f(t, z, y) bởi một đa thức tổng quát như ở bước 2 tức là :
f(t, z, x) = Q(t, z, x)(t− x1)...(t− xk) +R(t, z, x)
với Q và R luôn đối xứng trước sự hoán vị của x1, ..., xk.
Ngoài ra, theo định lý cơ bản của hàm đối xứng, có một hàm chỉnh hình
q(t, z, y) ∈ C{t, z, y} và đa thức r(t, z, y) theo t có bậc nhỏ hơn k và hệ số
thuộc vào C{x, y} sao cho:
q(t, z, δ1(x), ..., δk(x)) = Q(t, z, x)
và
r(t, z, δ1(x), ..., δk(x)) = R(t, z, x)
từ đó suy ra: F (t, z, x) = f(t, z, δ1(x), ..., δk(x))
= q(t, z, δ1(x), ..., δk(x))(tk + δ1(x)tk−1 + ...+ δk(x)) + r(t, z, δ1(x), ..., δk(x)).
Mặt khác ta biết phép thế δ : C −→ C là toàn ánh nên ta suy ra
f = q.pk + r.
6Định lý 1.2.2 (Division theorem,[1], p.339).
Gọi f, g ∈ C{t, z} và gọi g là t−tổng quát bậc k khi đó ∃q ∈ C{t, z} và đa
thức r ∈ C{z}[t] bậc ≤ k − 1 sao cho
r(t, z) =
k∑
i=1
qi(z)kk−i, qi(z) ∈ C{z}
với f = q.g + r q, r là xác định duy nhất .(Định lý này thường được gọi
là công thức Weierstrass)
Chứng minh. Định lý này được chứng minh từ Bổ đề trên.
Gọi g là t− tổng quát cấp k, và gọi f ∈ C{t, z}, theo Bổ đề 1.2.1 ta có
thể viết g và f dưới dạng
g = g˜(t, y, z).pk + r˜(t, z, y)
f = ˜˜q(t, z, y).pk + ˜˜r(t, z, y)
Trong đó r˜, ˜˜r là những đa thức bậc k − 1 với hệ số trong C{z, y}. Do đó ta
có thể thay thế y = y(z) sao cho r˜(t, z, y(z)) ≡ 0 từ đó suy ra :
g(t, z) = q˜(t, z, y(t)).pk với (q˜(0, 0, 0) 6= 0)
f(t, z) = ˜˜q(t, z, y(z)).pk + ˜˜r(t, z, y(z))
= ˜˜q.q˜−1.g + ˜˜r.
Như vậy nếu gán q(t, z) = ˜˜q(t, z, y(z)).q˜−1g(t, z, y(z)) và r(t, z) := ˜˜r(t, z, y(z))
thì ta có biểu diễn f = q.g + r .
Bây giờ ta chứng minh q, r là duy nhất, thật vậy giả sử f = q1.g + r1 =
q2.g + r2 suy ra r1 − r2 = (q2 − q1).g
Mặt khác các k không điểm của g(t, z) chứa trong lân cận của 0 ∈ C với
z đủ nhỏ, và đa thức r1(t, z)− r2(t, z) có bậc ≤ k − 1 và có ít nhất k không
điểm nên r1(t, z)− r2(t, z) = 0 suy ra r1 = r2 và q1 = q2.
Định lý 1.2.3 (Weierstrass preparation theorem,[1],p.338).
Gọi g(t, z) = g(t, z1, ..., zn) là chuỗi lũy thừa hội tụ từ C{t, z1, ..., zn} và
gọi g là t−tổng quát cấp k. Khi đó tồn tại u(t, z) ∈ C{t, z} và ci(z) ∈ C{z}
sao cho
g(t, z) = (tk + c1(z)tk−1 + ...+ ck(z)).u(t, z)
7với ci(0) = 0 và u(0, 0) 6= 0 và ci, u là duy nhất.
Chứng minh. Gọi g ∈ C(t, z) là tổng quát cấp k, nghĩa là g(t, 0) là chuỗi lũy
thừa có dạng g(t, 0) = c.fk + ...+ (số hạng cao hơn theo t) với c 6= 0,theo Bổ
đề 1.2.1 ta phân tích:
g(t, z) = q(t, z, y)(tk + y1tk−1 + ...+ yk) + r(t, z, y) (1.2)
với đa thức
r(t, z, y) = A1(z, y)tk−1 + ...+ Ak(z, y)
và q ∈ C{t, z, y}
Mục đích của chúng ta là thay thế hệ số tổng quát yi của pk bởi hàm chỉnh
hình yi(z) sao cho số hạng dư r trong(1.2) là triệt tiêu, để làm được điều này
trước hết ta phải chứng tỏ được:
∂Ai
∂yi
(0; 0) =

0 nếu i > j
−c nếu i = j
(1.3)
Thật vậy, nếu ta cho y = z = 0 trong (1.2) và so sánh hệ số của t0, ..., tk ta
được: Ai(0; 0) = 0 và q(0; 0; 0) = c. Do vậy (1.3) thỏa mãn.
Nếu 2 vế của (1.2) khác nhau và phụ thuộc vào yj thì với y = z = 0 ta có:
0 = ∂q
∂yj
(t, 0, 0)tkq(t, 0, 0)tk−j + ∂A1
∂y5
(0, 0)tk−1 + ...+ ∂Ak
∂yj
(0, 0)
so sánh hệ số của t0, t1, ..., t(k − 1) ta suy ra ∂Ak∂yj (0, 0) = 0,
∂Ak−1
∂yj
(0, 0) =
0,...∂Ak+1∂yj (0, 0) = 0 và
∂Aj
∂yj
(0, 0) = −q(0, 0, 0) = −c. Vậy (1.3) được chứng
minh.
Ngoài ra ma trận ∂Aj∂yj là ma trận tam giác trên với định thức (−c)k 6= 0,
nên từ phương trình Ai(z, y, (t).., yk(z)) = 0, i = 1, k và kết hợp với giả thiết
của định lý ta kết luận rằng tồn tại yj ∈ C{z} với yj = 0 sao cho
Ai(z, y1(z), ..., yk(z) = 0), i = 1, .., k
Nếu chúng ta thế y = y(t) vào phương trình (1.2) và u(t, z) = q(t, z, y(z))
ta được g(t, z) = (tk + y1(z)tk−1 + ...+ yk(z))u(t, z)trong đó u(0, 0) 6= 0, điều
này chứng tỏ rằng g là tích của đa thức Weierstrass và đa thức u.
8Tiếp theo ta chứng minh u và đa thức Weierstrass pk là duy nhất
Gọi g(t, z) = u(tk + c1tk−1 + ...+ ck)
= u˜(tk + c˜1tk−1 + ...+ c˜k)
và gọi U = V ×W là lân cận của 0 ∈ C×Cn với u và u˜ không triệt tiêu trên
lân cận này.
Từ nghiệm của đa thức không phụ thuộc vào các hệ số nên tất cả các k không
điểm của hai đa thức
pk = tk + c1(t)tk−1 + ...+ ck(z)
p
k˜
= tk + c˜1(t)tk−1 + ...+ c˜k(z)
.
nằm trong V với z đủ nhỏ thuộc Cn .
Từ u 6= 0, nên các không điểm của g(t, z) nằm trong V , nghĩa là hai đa
thức trên có các không điểm trùng nhau. Do đó với z đủ nhỏ thì ci(z) = c˜i(z)
điều này kéo theo ci = c˜i và do đó u = u˜, hay pk, u là duy nhất.
9Chương 2
ỨNG DỤNG
Nội dung của chương này là giới thiệu về phép khai triển Puiseux và áp
dụng Định lý chuẩn bị Weierstrass (Định lý 1.2.3 ) để chứng minh sự tồn
tại của phép tham số hóa một đa thức Weierstrass khả quy.
2.1 Khai triển Puiseux
Định nghĩa 2.1.1. Khai triển dạng:
y = t0x
m0
n0 + t1x
m1
n0n1 + t2x
m2
n0n1n2 + ...
trong đó (mi, ni) = 1,∀i = 0, 1, .. được gọi là khai triển Puiseux của f trong
lân cận của điểm (0, 0), các cặp (mi, ni) gọi là cặp số Puiseux của f.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử f ∈ C[x, y], y− tổng quát cấp t, giả sử
y = x
p0
q0 (t0 + x
p1
q0q1 (t1...))
là một khai triển Puiseux của f trong lân cận của (0; 0) khi đó hoặc là y có
một số hữu hạn phần tử, hoặc là tập các số nguyên {qi}i=0,1 thỏa điều kiện
∃i ∈ N∗,∀i ≥ i0.
2.2 Phép tham số hóa đường cong
Định lý 2.2.1. Giả sử f là đa thức bất khả quy và y− tổng quát cấp m khi
đó tồn tại lân cận của (0, 0) sao cho trong lân cận này fcó một phép tham
số hóa dưới dạng 
x = tm
y = y(t) ∈ C(t)
10
Chứng minh. Theo Định lý 1.2.3, tồn tại duy nhất u ∈ C∗{x, y}, g ∈ C{x}[y]
sao cho f = u.g, với g = ym + am−1(x)ym−1 + ...+ a1(x)y + a0(x) và bất khả
quy trong C{x}[y].
Theo thuật toán Puiseux-Newtơn, tồn tại nghiệm của phương trình f(x, y) =
0 dưới dạng y = y(x 1N ) ∈ C{x 1N }.
Đặt t = x 1N ⇔ x = tN , khi đó f(tN , y(t)) = 0, điều này suy ra ta phải
chứng tỏ N = m. Thật vậy, để ý rằng y = y(x 1N ) là một nghiệmcủa phương
trình f(x, y) = 0 thì yj = y(ζjx
1
N ), j = 0, ..., N − 1 là các nghiệm của phương
trình f(x, y) = 0. Do đó y = y(ζjx 1N ), j = 1, ..., N là các nghiệm của phương
trình g(x, y) = 0 suy ra
h(x, y) =
N∏
j=1
(
y − y(ζ ix 1N )
)
∈ C{x}[y]
là ước của g(x, y).
⇒ ∃u′ ∈ C∗{x}[y] : g = u′.h
⇒ f = u.g = u.u′.h
.
Mặt khác từ tính duy nhất của Định lý 1.2.3 ta suy ra g = h do đó:
⇒ g = N∏
j=0
(
y − y(ζ ix 1N )
)
∈ C{x}[y]
⇒ m = N.
.
Hệ quả 2.2.2. Xét f ∈ C{x, y} là đa thức bất khả quy,m = mult0(V (f))(Quy
ước f là y− tổng quát cấp m), khi đó x = 0 không phải là tiếp tuyến của
đường cong V (f) tại (O(0, 0)).
Chứng minh. Thật vậy một phép tham số hóa của x = 0 là
x = 0
y = t
⇒ f(x(t), y(t)) = f(0, t)
⇒ Int0(V (f), x = 0) = ordtf(0, t) = m
Suy ra x = 0 không là tiếp tuyến của đường cong V (f).
11
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Brieskorn, Plane Algebraic Curves.
[2] Griffiths P.A, Introduction to algebraic curves AMS, 1989.