Tiểu luận Ứng dụng lý thuyết Galoa trong phép dựng hình

1.1.1

Khái niệm mở rộng Galoa và ví dụ

Định nghĩa 1.1.1. Mở rộng bậc hữu hạn F của trường K được gọi là mở rộng Galoa nếu nó là chuẩn tắc và tách được.

Ví dụ 1.1.2. 1) Trường chia đường tròn R, trên Q là một mở rộng Galoa với nhóm Galoa đẳng cấu với nhóm nhân ở các lớp khả nghịch.

2) Trường hữu hạn F,4 = P là mở rộng Galoa trên trường còn nguyên tố Z, Nó có nhóm Galoa G = G(F/Zp) là nhóm xyclic sinh bởi tự đẳng cấu 0 ; a = ao với mọi ak F.

1.1.2

Các đặc trưng của mở rộng Galoa

Định lý 1.1.3. Cho F là mở rộng bậc hữu hạn trên 6 tuổi nhóm Gala G. Khi đó các điều kiện sau tương đương:

(6) F là mở rộng Galoa trên K.

(ii) K = F (nghĩa là tập các phần tử của F bất biến với mọi tự động cấu của nhóm Gala G đúng bằng K).

(iii) Cấp của nhóm Galva G đúng bằng bậc của mở rộng [F: K].

Chứng minh. (6) = (ii) Nếu F là mở rộng Galoa trên K thì F là trường nghiệm của một đa thức tách được trên K( [1], Hệ quả 6.3 ). Khi đó theo ([1], Định lý 1.3) ta có (ii).

(ii) ; (iii) Giả sử cấp của G bằng n. Khi đó theo ([1], Mệnh đề 3.1.1),ta

có n = [F: F#]. Bởi vậy nếu FG = K thì hiển nhiên n = [F: K]. Ngược lại, nếu n = [F: k] thì [F: k] = [F:FG], do đó K = FG (vì KC FG).