Luận văn Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M

Chương I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn này, các vành được xét là vành kết hợp có đơn vị, thường kí hiệu bởi R. Các môđun là R-môđun phải Unita, được gọi đơn giản là R-môđun.

1.1 Phạm trù g[M].

1.1.1 Định nghĩa. Một R-môdun N được gọi là M-sinh nếu nó là ảnh đồng cấu của một tổng trực tiếp các bản sao của M.

1.1.2 Định nghĩa. Phạm trù g[M] là phạm trù con đầy của phạm trù các R-môdun mà các vật của nó là các R-môđun đẳng cấu với môđun con của môđun M-sinh.

1.2 Môđun Noether và môđun Artin

1.2.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là Noether nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại.

(ii) Một R-môđun M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối tiêu.

1.2.2 Định lý. [1, tr 99-100] (6) Giả sử A là môđun con của M. Các điều sau là tương đương:

(1) M Noether; (2) A và M/A Noether;

(3) Mọi chuỗi tăng Ai CA2CA3 c. những môđun con của M đều ding.

(i) Giả sử A là môđun con của M, các điều sau là tương đương: (1) M Artin; (2) A và VA Artin;