Luận văn Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân và điều khiển tối ưu không trơn

Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Quy nhơn
Lê Đình Trọng
Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân
và điều khiển tối ưu không trơn
Luận văn thạc sỹ toán học
Quy nhơn - 2008
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Quy nhơn
Lê Đình Trọng
Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân
và điều khiển tối ưu không trơn
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01
Người hướng dẫn khoa học
TSKH - Huỳnh Văn Ngãi
Quy nhơn - 2008
1Mục Lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Dưới vi phân proximal và công thức tổng mờ . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Nón pháp tuyến proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Dưới vi phân proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Công thức mờ của dưới vi phân proximal . . . . . . . . . . . 8
Chương 2. điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza
tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trị . . . . . . . . . . . 12
2.2. Chứng minh định lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 . Dưới vi phân của hàm bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 . Bài toán phụ: sự nới lỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 . Điều kiện cần cho bài toán phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 . Chứng minh định lí 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chương 3. bài toán qui hoạch động . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. Điều kiện cần cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Chứng minh định lý3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. nguyên lý cực đại Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2Một số ký hiệu
NPS (x) Nón pháp tuyến proximal của S tại x.
∂pf(x) Dưới vi phân proximal của f tại x.
epif Trên đồ thị của f .
graphf Đồ thị của f .
domf Miền hữu hiệu của f .
δS(x) Hàm chỉ của tập S.
∂f(x) Giới hạn dưới vi phân proximal của f tại x.
X∗ Không gian đối ngẫu của X.
convS Bao lồi của S.
h.k.n Hầu khắp nơi.
ρS(x) Khoảng cách từ x tới tập S.
3Mở đầu
Phép tính biến phân cổ điển ra đời vào thế kỷ 18, gắn liền với những
tên tuổi lớn như: Euler, Lagrange, Bernoulli,... nhằm mục đích giải quyết những
bài toán cực trị xuất hiện trong vật lý và cơ học. Những thành tựu và phương pháp
của nó càng ngày càng thâm nhập vào rất nhiều lĩnh vực khoa học, kỷ thuật khác
nhau.
Phép tính biến phân cổ điển chỉ giới hạn xem xét những hàm và toán tử đủ
trơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thực tiễn, yêu cầu này không phải lúc nào
cũng đảm bảo. Vào khoảng những năm 60 của thế kỷ trước, một thành tựu nổi bật
trong lý thuyết điều khiển tối ưu ra đời đó là nguyên lý cực đại Pontryagin, được
đưa ra bởi nhà toán học xuất chúng người Nga Pontryagin. Kết quả này đánh dấu
một mốc lớn trong quá trình phát triển của lý thuyết điều khiển tối ưu.
Trong khoảng vài chục năm gần đây, với những thành tựu của giải tích không
trơn cụ thể là lý thuyết vi phân tổng quát, cho phép ta xem xét những bài toán
biến phân và điều khiển tối ưu mà dữ kiện của nó không nhất thiết trơn. Điều này
không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn mở rộng phạm vi ứng dụng, bởi
vì những bài toán trong thực tiễn thường là không trơn. Hơn nữa, những phương
pháp và thành tựu của giải tích không trơn cho phép ta đưa ra chứng minh đơn
giản hơn cho các kết quả biến phân cổ điển, và giúp cho ta có một cái nhìn nhất
quán trong một bối cảnh tổng quát những bài toán biến phân cổ điển.
Mục đích của luận văn không ngoài việc đọc hiểu, hệ thống những kết quả
gần đây về điều kiện cần cực trị cho bài toán biến phân tổng quát Bolza và bài
toán qui hoạch động không trơn như điều kiện Euler, Weierstrass, nguyên lý cực
đại. Chủ yếu là những kết quả trong hai bài báo của Rockafellar và Ioffe [4], [5].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm ba chương.
Chương I: Trình bày một số khái niệm, định lý sẽ dùng trong các chương
sau. Chứng minh công thức mờ của dưới vi phân proximal.
4Chương II: Nêu định lý điều kiện cần cực trị cho bài toán tổng quát của Bolza
khi dữ kiện là không trơn và qui trình chứng minh định lý. Đưa ra hai ví dụ minh
hoạ kết quả của định lý.
Chương III: Xét bài toán qui hoạch động trong tối ưu điều khiển. Chứng
minh điều kiện cần cực trị, nguyên lý cực đại Pontryagin khi dữ kiện là không
trơn.
4Chương 1
kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm, định lý sẽ được
dùng ở các chương sau.
Giả sử X là không gian Banach và cho f : X −→ R ∪ {+∞}. Ta dùng những
ký hiệu sau:
Miền hữu hiệu của hàm f, domf := {x ∈ X : f(x) < +∞}.
Trên đồ thị của hàm f , epif := {(x, α) ∈ domf ìR : f(x) ≤ α}.
Đồ thị của hàm f , graphf := {(x, α) ∈ X ìR : f(x) = α}.
Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu domf 6= ∅.
Hàm f là Lipschitz địa phương tại x ∈ X, nếu tồn tại lân cận U của x ∈ X và
số K > 0 sao cho
‖f(x)− f(x′)‖ ≤ K‖x− x′‖, ∀x, x′ ∈ U. (1.1)
Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên X, nếu f Lipschitz địa phương
tại mọi x ∈ X.
Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz K trên X, nếu (1.1) đúng
với mọi x, x ′ ∈ X.
Hàm số f : X −→ (−∞,+∞] được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu
lim inf
x→x
f(x) ≥ f(x) (với f(x) 0, tồn tại lân cận U của x
sao cho
f(x)− ε ≤ f(y), ∀ y ∈ U. (1.2)
Nếu f(x) = +∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x, nếu với mọi N > 0
tồn tại lân cận U của x sao cho
f(y) ≥ N, ∀ y ∈ U. (1.3)
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu f nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X.
Nếu thay (1.2) và (1.3) tương ứng bởi (1.4) và (1.5) ta được định nghĩa hàm
nửa liên tục trên tại x.
f(y) ≤ f(x) + ε, ∀ y ∈ U. (1.4)
f(y) ≥ −N, ∀ y ∈ U. (1.5)
5Cho S ⊂ X, hàm chỉ của tập S được ký hiệu và xác định như sau
δS(x) =
{
0 nếu x ∈ S
∞ nếu x /∈ S
Ta thấy rằng hàm f đạt cực tiểu trên S ⊂ X khi và chỉ khi f + δS đạt cực tiểu
trên X.
1.1. Hàm lồi
Hàm f : X −→ R∪{+∞} được gọi là hàm lồi nếu nó thoả mãn bất đẳng thức
f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1].
Giả sử (X, ‖.‖) là không gian định chuẩn và f : X −→ R là một phiếm hàm
lồi. Với mọi x ∈ X, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục l trên X ký hiệu
∂f(x) sao cho
f(x) ≥ f(x) + l(x− x) ∀x ∈ X
được gọi là dưới vi phân của f tại x. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục l ∈ ∂f(x)
gọi là dưới vi phân của f tại x.
Cho f : Rn −→ [−∞,+∞] là một hàm bất kỳ. Hàm
f∗(x∗) = sup{〈x∗, x〉 − f(x)| x ∈ Rn},
được gọi là hàm liên hợp của f .
Định lý 1.1.1. [7] Với mọi hàm số f , hàm liên hợp f ∗ là một hàm lồi đóng thoả
mãn bất đẳng thức Fenchel sau
f∗(x∗) ≥ 〈x∗, x〉 − f(x) ∀x, x∗ ∈ Rn.
Nói riêng nếu f lồi chính thường thì f∗ lồi chính thường.
Định lý 1.1.2. [7] Cho f là một hàm trên X thì hàm liên hợp f∗ là lồi và đóng
trong tôpô yếu* của không gian X∗.
Định lý 1.1.3. [8](Moreau - Rockafellar)
Giả sử f1, . . . , fn là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó
∀x ∈ X, ∂(f1 + . . .+ fn) ⊃ ∂f1(x) + . . .+ ∂fn(x).
6Nếu tất cả các fi, i = 1, . . . , n là hàm lồi chính thường trên X trừ một số hàm
liên tục tại x ∈ domf1
⋂
. . .
⋂
domfn thì ta có đẳng thức.
Định lý 1.1.4. [8] (Lyapunov)
Cho T là một tập và à1, à2, . . . , àn là các độ đo hữu hạn liên tục xác định trên
một σ− đại số
∑
các tập con của T . Thì hạng của độ đo vectơ m = (à1, . . . , àn)
là lồi và đóng.
Định lý 1.1.5. [8] (Mazur)
Cho X là một không gian Banach và cho một điểm x thuộc vào một tập đóng
yếu A ⊂ X. Thì tồn tại một dãy tổ hợp lồi các phần tử của A hội tụ tới x theo
chuẩn.
Chú ý 1.1.6. Một tập F ⊂ X được gọi là đóng yếu theo dãy nếu dãy {x n} ⊂ F
có giới hạn yếu là x thì x ∈ X.
Định lý 1.1.7. [1] (Nguyên lý biến phân Ekeland)
Giả sử (X, ρ) là không gian mêtric đầy đủ và f : X −→ R∪{+∞} là một hàm
chính thường nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Điểm u ∈ X và ε > 0 thỏa mãn
f(u) ≤ inf f + ε. Khi đó, với bất kỳ λ > 0, tồn tại v ∈ X sao cho
(i) f(v) ≤ f(u),
(ii) ρ(v, u) ≤ λ,
(iii) f(w) +
ε
λ
ρ(w, v) > f(v), ∀w ∈ X,w 6= v.
1.2. Dưới vi phân proximal và công thức tổng mờ
1.2.1. Nón pháp tuyến proximal
Cho X là một không gian Hilbert và S là tập con khác rỗng của X. Giả sử
x ∈ X, x /∈ S.
Nếu tồn tại s ∈ S sao cho khoảng cách từ s đến x là nhỏ nhất thì s được gọi là
hình chiếu của x lên S. Tập gồm các hình chiếu của x lên S ký hiệu là projS(x).
Véc tơ x− s được gọi là vectơ pháp tuyến proximal của S tại x.
Nón pháp tuyến proximal của tập S tại s ký hiệu NPS (s) được xác định như sau
NPS (s) :=
{
ζ ∈ X : ζ = t(x− s), t ≥ 0, s ∈ projS(x)
}
.
7Hàm khoảng cách ρS : X → R được xác định bởi
ρS(x) := inf{‖x− s‖ : s ∈ S},
ta cũng có thể viết ρ(x, S) thay cho ρS(x).
Mệnh đề 1.2.1. [2] a) Bất đẳng thức pháp tuyến proximal
ζ ∈ NSN (s)⇔ ∃σ ≥ 0 sao cho 〈ζ, s
′ − s〉 ≤ σ‖s′ − s‖2 ∀s′ ∈ S.
Hơn nữa, với mọi δ > 0 cho trước ta có
b) ζ ∈ NSN(s)⇔ ∃σ ≥ 0 sao cho 〈ζ, s
′ − s〉 ≤ σ‖s′ − s‖2 ∀s′ ∈ S ∩B(s, δ).
c) Nếu S là tập lồi và đóng thì
ζ ∈ NSN (s)⇔ 〈ζ, s
′ − s〉 ≤ 0 ∀s′ ∈ S.
1.2.2. Dưới vi phân proximal
Định nghĩa 1.2.2. [4] ChoX là một không gian Hilbert và f : X → R∪{+∞} = R.
Dưới vi phân proximal của hàm nửa liên tục dưới f tại một điểm x với f(x) hữu
hạn, ký hiệu ∂pf(x) là một phần tử x∗ ∈ X∗ sao cho tồn tại  > 0, k > 0,
f(x+ u)− f(x)− 〈x∗, u〉 ≥ −k‖u‖2, nếu ‖u‖ < .
Dưới vi phân giới hạn proximal của f tại x ký hiệu ∂f(x) và,
∂f(x) = lim sup
u→ x
f(u)→ f(x)
∂pf(u).
Ví dụ:
1) Nếu f đạt cực tiểu tại x thì 0 ∈ ∂pf(x).
2) Nếu f = IS thì ∂pf(x) = ∂pIS(x) = NPS (x).
3) Nếu f là hàm liên tục trên tập mở U ⊂ X thì ∂pf(x) = f ′(x) ∀x ∈ U .
Định lý 1.2.3. [ 7] Cho f là hàm nửa liên tục dưới và x ∈ domf . Khi đó
ζ ∈ ∂pf(x)⇔ ∃σ > 0; η > 0 : f(y) ≥ f(x) + 〈ζ, y − x〉 − σ‖y − x‖
2 ∀y ∈ B(x, η).
Khi x ∈ S và S là đóng thì
N(S, x) =
⋃
λ≥0
λ∂ρ(x, S). (1.6)
8Trong đó ρ là hàm khoảng cách với chuẩn trong Rn.
∂ρ(x, S) = N(x, S) ∩ B˜ (1.7)
B˜ là hình cầu đơn vị trong Rn.
1.2.3. Công thức mờ của dưới vi phân proximal
Trong phần này ta xem xét về ước lượng xấp xỉ dưới vi phân của một tổng
các hàm bởi trung bình cộng của xấp xỉ dưới vi phân.
Định lý 1.2.4. [4] Cho X là một không gian Hilbert và f1, . . . , fk là (giá trị thực
mở rộng) các hàm xác định và nửa liên tục dưới trên một lân cận của x, hữu
hạn tại x. Giả sử tính chất nửa liên tục dưới được lấy trên đường thẳng.
(ULC) Có một δ > 0 sao cho với bất kì k, các dãy {xir}, i = 1, . . . , k; r = 1, 2, . . .
thuộc hìn ...  dãy {xk(.)} hội tụ về x∗(.) trong W 11 sao cho với bất kỳ
k = 1, 2, ..., hàm
Mk(x(.)) =
∫ 1
0
ϕ(t, x(t), x˙(t))dt+ ρ
(
(x(0), x(1)), S
)
+ k−1‖x(.)− xk(.)‖1.1
đạt cực tiểu địa phương trong W11 tại xk(.) và hoặc (xk(0), xk(1)) /∈ S hoặc
x˙k(t) /∈ F (t, xk(t)) trên một tập có độ đo dương.
Chứng minh. Lấy Φ là tập các hàm thoả các ràng buộc của bài toán (P1), tức là
tập những x(.) ∈W11 sao cho x˙(t) ∈ F (t, x(t)) hầu khắp nơi và
(
x(0), x(1)
)
∈ S.
Trước hết giả sử có δ > 0, C > 0 sao cho khoảng cách (trongW11 ) từ x(.) tới Φ là
không lớn hơn C
( ∫ 1
0
ϕ
(
t, x(t), x˙(t)
)
dt+ρ
(
(x(0), x(1)), S
))
khi ‖x(.)−x∗(.)‖1.1 ≤ δ.
Thì cho bất kỳ x(.) tuỳ ý đủ gần x ∗(.), tồn tại một u(.) ∈ Φ sao cho
‖x(.)− u(.)‖1.1 ≤ C
(∫ 1
0
ϕ
(
t, x(t), x˙(t)
)
dt+ ρ
(
(x(0), x(1)), S
))
.
Mặc khác, do u(.) ∈ Φ, ta có
l(x(0), x(1)) + 2r‖x(.)− x∗(.)‖1.1 = l(x(0), x(1))
+2Cr
( ∫ 1
0
ϕ
(
t, x(t), x˙(t)
)
dt+ ρ
(
(x(0), x(1)), S
))
,
= l(x(0), x(1)) +N
( ∫ 1
0
ϕ
(
t, x(t), x˙(t)
)
dt+ ρ
(
(x(0), x(1)), S
))
,
= M(x(.)), với N = 2Cr.
Vì ϕ(t, x ∗(t), x˙∗(t)) = 0 và (x∗(0), x∗(1)) ∈ S nên M(x∗(.)) = l(x∗(0), x∗(1)).
41
Vậy ta có
l(x∗(0), x∗(1)) ≤ l(u(0), u(1)) ≤ l(x(0), x(1)) + 2r‖x(.)− x∗(.)‖1.1.
trong đó r là hằng số Lipschitz của l.
Vậy khi lấy N = 2Cr thì ta có
M(x(.)) ≥ l(u(0), u(1)) ≥M(x∗(.)).
Tức là x∗(.) là một cực tiểu tuyệt đối của M(x(.)).
Mặc khác nếu không có δ và C thoả tính chất trên thì tồn tại một dãy uk(.) ∈W 11
hội tụ tới x∗(.) sao cho
0 < ak = dist(uk(.),Φ) ≥ 2k
( ∫ 1
0
ϕ(t, xk(t), x˙k(t))dt+ ρ
(
(uk(0), uk(1)), S
))
.
Chú ý rằng hàm ở vế phải là không âm và ak → 0.
Theo nguyên lý biến phân Ekeland (áp dụng cho hàm trong dấu ngoặc đơn),
ta tìm được xk(.) ∈ W 11 hội tụ tới x∗(.) sao cho ‖xk(.)− uk(.)‖ ≤
ak
2
và Mk(.) tồn
tại một cực tiểu địa phương tại xk(.).
Lưu ý rằng x∗(.) /∈ Φ, điều này có nghĩa là
(
xk(0), xk(1)
)
/∈ S hoặc x˙k(t) /∈
F (t, xk(t)) trên một tập có độ đo dương.
3.3. Chứng minh định lý 3.1.1
Chứng minh. Ta áp dụng Mệnh đề 3.2.1 với G(t, x, y) là một hàm thử.
+) Nếu G đều tại x∗(.) thì có một λ > 0 sao cho x∗(.) ∈W 11 là một cực tiểu địa
phương của phiếm hàm
J(x(.)) = λl
(
x(0), x(1)
)
+ ρ
(
(x(0), x(1)), S
)
+
∫ 1
0
G
(
t, x(t), x˙(t)
)
dt. (3.47)
Theo Định lí 2.1.1, có một p(.) sao cho p˙(t) ∈ conv
{
w : (w, p(t)) ∈ ∂G(t, x(t), x˙∗(t))
}
,
G(t, x∗(t), y)−G(t, x∗(t), x˙∗(t))− p(t)(y − x˙∗(t)) ≥ 0 ∀y,(
p(0),−p(1)
)
∈ λ∂l
(
x∗(0), x∗(1)
)
+ ∂ρ
(
(x∗(0), x∗(1)), S
)
.
(3.48)
+) Nếu G không chính quy, thì theo Mệnh đề 3.2.1 có một dãy {xk(.)} hội tụ
theo chuẩn tới x∗(.) trong W 11 và sao cho mỗi hàm
Mk(x(.)) = ρ
(
(x(0), x(1)), S
)
+
∫ 1
0
G(t, x(t), x˙(t))dt+ k−1‖x(t)− xk(t)‖1.1,
= ρ
(
(x(0), x(1)), S
)
+
∫ 1
0
G(t, x(t), x˙(t))dt+ k−1
(
|x(0)− xk(0)|+
∫ 1
0
|x˙(t)− x˙k(t)dt
)
,
= ρ
(
(x(0), x(1)), S
)
+
∫ 1
0
Gk(t, x(t), x˙(t))dt+ k
−1
(
|x(0)− xk(0)|
)
,
= ρ
(
(x(0), x(1)), S
)
+
∫ 1
0
Gk(t, x(t), x˙(t))dt+ εk
−1|xk(0)|,
42
đạt cực tiểu địa phương tại xk(.) ∈ W 11 , và với bất kỳ k ta có hoặc
(
xk(0), xk(1)
)
/∈ S
hoặc x˙k(t) /∈ F
(
t, xk(t)
)
trên một tập có độ đo dương, trong đó
Gk(t, x, y) = G(t, x, y) + k
−1|y − x˙k(t)|.
(Ta luôn giả thiết x˙k(t) hội tụ tới x˙∗(t) h.k.n).
Mỗi bài toán ứng với k như trên cũng thoả mãn các giả thiết của Định lí
2.1.1, trong lân cận nghiệm xk(t) của nó. Từ (H5) và áp dụng Mệnh đề 3.1.4 với
r(N) = k(t) + βN , ta tìm được các hàm pk(.) sao cho
p˙k(t) ∈ conv
{
w : (w, p(t)) ∈ ∂G(t, xk(t), x˙k(t))
}
.
G(t, xk(t), y)−G(t, xk(t), x˙k(t))− pk(t)(y − x˙k(t)) ≥ 0 ∀y.(
pk(0),−pk(1)
)
∈ ∂ρ
(
(xk(0), xk(1)), S
)
+ k−1B.
và hoặc max{|pk(0)|, |pk(1)|} = 1 nếu
(
xk(0), xk(1)
)
/∈ S, hoặc |pk(t)| = 1 ∀t thuộc
tập có độ đo dương trên đó x˙k(t) /∈ F (t, xk(t))(do (3.46)).
Mặc khác, dãy
(
pk(0), pk(1)
)
là bị chặn, và p˙k(t) ≤ k(t) + β|x˙(t)|. do (H5).
Do vậy {pk(.)} là một dãy compact yếu. Theo định lý Mazur, tồn tại một dãy
tổ hợp lồi qk(.) của pk(.) hội tụ theo chuẩn tới một pk(.) trong W 11 . Giả sử rằng
q˙k(t)→ p˙(t) h.k.n. Thì p(.) thoả mãn (3.48) với λ = 0.
Chú ý rằng
(w, p) ∈ ∂G
(
t, xk(t), x˙k(t)
)
=⇒ |w| ≤ k(t) + β|x˙k(t)|.
Điều này cùng với tính chất nửa liên tục trên của giới hạn dưới vi phân proximal
và sự hội tụ đều của pk(.) suy ra
conv
{
w : (w, p(t)) ∈ ∂G
(
t, xk(t), x˙k(t)
)}
=
∞⋂
m=1
conv
{
w : (w, p) ∈ ∂G
(
t, xk(t), x˙k(t)
)
, |p− p(t)| ≤
1
m
}
.
Điều này cùng với (3.48) suy ra q˙k(t)→ p˙(t) h.k.n.
Cuối cùng, hàm giới hạn p(t) không thể đồng nhất bằng 0 do pk(.) hội tụ đều
tới p(.) và mỗi hàm này bằng 1 tại ít nhất một điểm.
Vì vậy, trong mỗi trường hợp, chúng có một cặp (λ, p(, )) không tầm thường
thoả mãn (3.48) , bao hàm Euler được suy ra từ Mệnh đề 3.1.2 và (1.6). Nguyên
lí cực đại suy ra từ Mệnh đề 3.1.3 và điều kiện cắt ngang trùng với kết luận thứ
ba.
43
3.4. nguyên lý cực đại Pontryagin
Trong phần này ta chứng minh nguyên lý cực đại Pontryagin cho chu trình
mở lớp các bài toán điều khiển tối ưu.
Xét họ F của trường vectơ f(t, x) được xác định trong ống
t ∈ [0; 1], x ∈ Γ(t) = {x : |x− x∗(t)| < ε}.
Giả sử rằng họ F thoả mãn điều kiện phân tích được sau.
(D) Nếu f1 ∈ F, f2 ∈ F và 4 là một tập con đo được của [0; 1], thì trường f
trùng với trường f1 khi t ∈ 4, trùng với trường f2 khi t /∈ 4 và f ∈ F.
Hơn nữa ta giả sử rằng
(H5) Với mọi f ∈ F là một hàm Caratheodory, tồn tại một hàm khả tích k(t)
(phụ thuộc vào f) thoả mãn bất đẳng thức
|f(t, x)− f(t, x′)| ≤ k(t)|x− x′| ∀x, x′ ∈ Γ(t).
Xét bài toán sau
(P2) :

min l(x(0), x(1)),
với x˙(t) ∈ f(t, x), f ∈ F,
(x(0), x(1)) ∈ S.
Định lý 3.4.1. [10] Giả thiết rằng các điều kiện (H1), (H2), (H5) và (D) được
thoả mãn. Nếu x∗(.) là một nghiệm của (P2) và f∗ là trường vectơ tương ứng thì
tồn tại λ ≥ 0 và p(.) ∈ W11 sao cho λ > 0 hoặc p(.) không đồng nhất 0 và thoả
mãn các điều kiện sau
−p(t) ∈ ∂x
(
p(t).f∗(t, x∗(t))
)
h.k.n, (3.49)
p(t).f∗(t, x∗(t)) ≥ p(t).f(t, x∗(t)) h.k.n, (3.50)(
p(0),−p(1)
)
∈ λ∂l(x∗(0), x∗(1)) +N
(
S, (x∗(0), x∗(1))
)
. (3.51)
Chứng minh. Lấy một chọn hữu hạn của các trường f 1, . . . , fk và một δ > 0.
Xét ánh xạ giá trị tập
F (t, x) = F (δ, f1, . . . , fk, t, x)
là hợp của f∗(t, x) và fi(t, x) với
|fi(t, x∗(t))− f∗(t, x∗(t))| > δ, i = 1, . . . , k
44
điều này có được bởi (H5), định nghĩa của F thoả mãn điều kiện (H3) và (H5).
Xét bài toán (P 2) với F này.
Từ (D) suy ra x∗(.) là một nghiệm của (P2). Vì vậy có thể áp dụng Định lý 3.1.1,
khi đó tồn tại λ0 và p(.) không đồng thời bằng 0 thoả mãn
p(t).x˙∗(t) = H(t, x∗(t), p(t)) h.k.n (3.52)
p˙(t) ∈ conv{w : (w, p) ∈ N(graphF (t, .), (x∗, x˙∗)) (3.53)
(p(0),−p(1)) ∈ λ∂l(x∗(0), x∗(1)) +N
(
S, (x∗(0), x∗(1))
)
(3.54)
với F đã cho. Từ định nghĩa của F thì x∗(.) là một bộ điểm cô lập của F (t, x∗(t)).
Do đó
N
(
graphF (t, .),
(
x∗(t), x˙∗(t)
))
= N
(
graphf∗(t, .),
(
x∗(t), f∗(t, x∗(t))
))
khi f∗(t, .) thoả mãn điều kiện Lipschitz gần x∗(t).
Từ tính chất
∂(p˙.S)(x) = {u : (u− p) ∈ N
(
graphS, (x, y)
)
suy ra
(w, p) ∈ N
(
graphf∗(t, .),
(
x∗(t), f∗(t, x∗(t))
))
khi và chỉ khi −w ∈ ∂
(
p.f∗(t, x∗(t))
)
, cùng với (3.53) suy ra (3.49).
Mặc khác, theo Nguyên lý cực đại (3.52) suy ra
p(t).f∗(t, x∗(t)) ≥ p(t).fi(t, x∗(t)), nếu |fi(t, x∗(t))− f∗(t, x∗(t))| > δ. (3.55)
Ký hiệu
∧
(δ, f1, . . . , fk) là tập các (λ0, p(.)) thoả mãn (3.49), (3.51) và (3.55)
cùng với điều kiện chuẩn hoá
λ0 ≥ 0, λ0 + max
0≤t≤1
|p(t)| = 1
thì
∧
(δ, f1, . . . , fk) là một họ lồng vào nhau các tập con compact yếu của RìW11(
khi ‖p˙(t)‖ ≤ k∗(t) ∈ L1 với mọi
∧
(δ, f1, . . . , fk) bởi (H5)
)
và sự chuẩn hoá là liên
tục yếu trên các tập bị chặn. Do đó tồn tại (λ0, p(.)) chung cho tất cả
∧
(δ, f1, . . . , fk).
Định lý được chứng minh.
45
Kết luận
Luận văn đã trình bày một số vấn đề chính sau.
1) Hệ thống một số kiến thức liên quan tới đề tài của luận văn và chứng minh
công thức mờ của dưới vi phân proximal.
2) Điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát, như điều kiện Euler, điều
kiện Weierstrass, điều kiện cắt ngang.
Để chứng minh các kết quả này, ta cần.
i) Xây dựng và chứng minh tính chất dưới vi phân của hàm bao lồi.
ii) Xét bài toán phụ - sự nới lỏng của bài toán Bolza tổng quát.
iii) Nêu và chứng minh điều kiện cần cho bài toán phụ.
3) Chứng minh định lý ở 2).
4) Đưa ra hai ví dụ minh hoạ cho kết quả chính.
5) Rút ra hệ quả về điều kiện cần cực trị và nguyên lý cực đại Pontryagin cho bài
toán qui hoạch động.
46
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy TSKH -
Huỳnh Văn Ngãi. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy,
người đã chỉ dẫn những kinh nghiệm quí báu trong nghiên cứu khoa học và cung
cấp những tài liệu quí giá để tôi hoàn thành luận văn này.
Nhân đây cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn đến với tất cả quý thầy
cô trong ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, quý thầy cô trong Khoa Toán,
Phòng đào tạo Đại học và sau đại học, Thư viện trường Đại học Quy Nhơn, cùng
quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học khoá VIII đã tận tình giảng dạy, giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học khoá VII, VIII,
gia đình, người thân, tập thể giáo viên cùng ban giám hiệu trường THPT Thu Xà
đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khoá học.
Mặc dù đã có nhiều kế hoạch và dự định nhằm thực hiện luận văn một cách
tốt nhất. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian và trình độ nên sự sai sót là khó
tránh khỏi. Rất mong nhận được sự thông cảm, góp ý của Thầy Cô và các bạn để
tôi hoàn thiện, phát triển hơn nữa các kế hoạch đã đặt ra.
Quy Nhơn, tháng 4 năm 2008
47
tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Văn Lưu, (1993), Giải tích Lipschitz, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật
Hà Nội.
[2] Trần văn Trung (2004),” Dưới vi phân proximal trên không gian Hilbert và áp
dụng”, Luận văn thạc sĩ toán.
[3] J. Borwein, D.Preiss: A smooth variational principle with application. Trans.
Amer. Math. Soc 303, 517 - 527(1987).
[4] A.Ioffe and R. T. Rockafellar, The Euler and Weierstrass condition for non-
smonth variational problems,preprint 1994.
[5] A. Ioffe, (1991) Euler - Lagrange and Hamiltoian in Dynamic Optimization
(submitted),
[6] J. Jahn, (1996) Introduction to the theory of Nonlinear optimization, Springer -
Verlag Berlin Heidelberg New York.
[7] F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R. J. Stern, P.R. Wolenski, (1998) Nonsmooth
analysis and Control Theory, Springer - Verlag New York, Inc.
[8] A.D. Ioffe, V.M. Tihomirov, (1979), Theory of Extremal Problems, North-
Holland Pubi Ishing Company.
[9] A.Ioffe : Proximal analysis and approximate subdifferentials. J.London Math.
Soc. 41, 175 - 192(1990).
[10] B.Kaskosz and S. Lojasiewicz Jr. A maximum principle for generalized control
systems, Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Appl. 9 (1985), 109 - 130.