Luận văn Một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Võ Quốc Thành
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA DÃY SINH BỞI HÀM SỐ
VÀ ÁP DỤNG
Luận văn thạc sĩ toán học
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60 46 40
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
QUY NHƠN, NĂM 2008
2Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 Một số tính chất cơ bản của dãy số 3
1.1 Cấp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Cấp số điều hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dãy tuyến tính và phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số . . . . . . . 8
1.3.2 Dãy phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2 Hàm chuyển đổi một số dãy số đặc biệt 27
2.1 Hàm chuyển tiếp các cấp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Hàm bảo toàn các cấp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Hàm chuyển đổi các cấp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Dãy sinh bởi một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
02.2.1 Dãy sinh bởi nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Dãy sinh bởi tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Dãy sinh bởi hàm phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4 Dãy sinh bởi hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chương 3 Một số tính toán trên các dãy số 73
3.1 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Một số ước lượng tổng và tích vô hạn phần tử . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Tính chất của một số dãy số phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1Mở đầu
Chuyên đề dãy số và các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng
của đại số và giải tích toán học. Có nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên
đề này. Đối với học sinh phổ thông, những khái niệm dãy số thường khó hình dung
về cấu trúc đại số trên tập các dãy số, đặc biệt là các phép tính đối với các dãy có
chứa tham số, các phép biến đổi dãy và đại số các dãy,...
Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để
nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của giải tích toán học.
Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympíc toán quốc tế, các bài toán
liên quan đến dãy số cũng hay được đề cập và thường thuộc loại rất khó. Các bài
toán về ước lượng và tính giá trị các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị và xác
định giới hạn của một biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các
đặc trưng của dãy tương ứng. Các bài toán về dãy số đã được đề cập ở các giáo trình
cơ bản về giải tích toán học và một số tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh chuyên
toán bậc trung học phổ thông.
Luân văn Một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng nhằm cung cấp
một số kiến thức cơ bản về dãy số và một số vấn đề liên quan đến dãy số. Đồng thời
cũng cho phân loại một số dạng toán về dãy số theo dạng cũng như phương pháp giải.
Trong quá trình hoàn thành luận văn , tác giả đã không ngừng nỗ lực để học hỏi,
tìm tòi và khảo sát một số bài toán về dãy số.
Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương.
Chương 1: Một số tính chất cơ bản của dãy số.
Nội dung của chương này nhằm trình bày định nghĩa các dãy số đặc biệt và các tính
chất liên quan. Đồng thời trình bày một số bài toán áp dụng liên quan đến cấp số
cộng, cấp số nhân và các tính chất đặc biệt của chúng. Nêu một số tính chất cơ bản
2của dãy số và các bài toán xác định các dãy số liên quan đến các hàm sơ cấp ở phổ
thông.
Chương 2: Hàm chuyển đổi một số dãy số đặc biệt.
Chương này nhằm giới thiệu một số lớp hàm bảo toàn các dãy số đặc biệt nêu ở
chương 1 và nêu các mối liên hệ giữa các hàm đã cho. Đồng thời nêu xét các dãy tuần
hoàn và phản tuần hoàn và khảo sát một số tính chất của các hàm chuyển đổi các
dãy số đặc biệt
Chương 3 nhằm khảo sát một số tính chất và tính toán trên dãy số.
Mặc dù bản thân đã có những cố gắng vượt bậc, nhưng sẽ không tránh khỏi
những khiếm khuyết, rất mong sự góp ý của quý Thầy Cô và những bạn đọc quan
tâm đến luận văn.
3Chương 1
Một số tính chất cơ bản của dãy số
Ta nhắc lại một số định nghĩa trong chương trình toán bậc phổ thông.
1.1 Cấp số
1.1.1 Cấp số cộng
Định nghĩa 1.1. Dãy số {un} thỏa mãn điều kiện
u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un
được gọi là một cấp số cộng.
Khi dãy số {un} lập thành một cấp số cộng thì hiệu d = u1− u0 được gọi là công
sai của cấp số cộng đã cho.
Nhận xét 1.1. Nếu có một dãy số có hữu hạn các phần tử
u1, u2, . . . , un
thỏa mãn tính chất
u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un − un−1 (1.1)
thì dãy số un được gọi là một cấp số cộng với d = u1 − u0 được gọi là công sai. Dãy
số {un} là một cấp số cộng với công sai d = 0 thì un = un+1 với mọi n, khi đó ta gọi
{un} là dãy hằng (dãy không đổi).
Kí hiệu
Sn = u1 + u2 + · · ·+ un
4Sn được gọi là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.
un được gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng {un}.
Nhận xét 1.2. Cho {un} là một cấp số cộng công sai d, ta có
un = un−1 + d = u1 + (n− 1)d,
2uk = uk−1 + uk+1, k > 2,
và
Sn = nu1 +
n(n− 1)d
2
=
(u1 + un)n
2
.
Bài toán 1.1. Cho {un} là một cấp số cộng mà các số hạng đều là các số nguyên
dương. Giả sử trong dãy có một số chính phương. Chứng minh rằng dãy đã cho có vô
hạn số chính phương là bình phương của các số nguyên dương.
Giải. Giả sử dãy {un} có công sai d > 0 và x là một số chính phương trong dãy, và
x = m2. Khi đó
(m+ kd)2 = m2 + 2mkd + k2d2 = x+ d(2mk + k2d),
điều này chứng tỏ dãy đã cho có vô hạn số chính phương là bình phương của các số
nguyên dương.
Bài toán 1.2. Cho các số dương u1, u2, . . . , un tạo thành một cấp số cộng, công sai
d > 0. Chứng minh rằng
tn =
1√
u1 +
√
u2
+
1√
u2 +
√
u3
+ · · ·+ 1√
un−1 +
√
un
=
n− 1√
u1 +
√
un
Giải. Nhận xét rằng
1√
uk +
√
uk+1
=
√
uk+1 −√uk
d
.
Lần lượt cho k = 1, 2, . . . , n vào trong đẳng thức trên và thực hiện cộng theo vế, ta
thu được
tn =
1
d
[(
√
u2 −√u1) + (√u3 −√u2) + · · ·+ (√un −√un−1)]
=
1
d
(
√
un −√u1) = 1
d
un − u1√
un +
√
u1
=
n− 1√
u1 +
√
un
Vậy nên
tn =
n− 1√
u1 +
√
un
.
5Bài toán 1.3. Cho các số dương u1, u2, . . . , un tạo thành một cấp số cộng, công sai
d > 0. Tính tổng
S =
1
u1.u2
+
1
u2.u3
+ · · ·+ 1
un−1.un
Giải. Nhận xét rằng
1
uk.uk+1
=
1
d
( 1
uk
− 1
uk+1
)
.
Lần lượt cho k = 1, 2, . . . , n vào trong đẳng thức trên và thực hiện cộng theo vế ta
thu được
S =
1
d
[( 1
u1
− 1
u2
)
+
( 1
u2
− 1
u3
)
+ · · ·+
( 1
un−1
− 1
un
)]
=
1
d
( 1
u1
− 1
un
)
=
n− 1
u1.un
Vậy nên
S =
n− 1
u1.un
.
1.1.2 Cấp số nhân
Định nghĩa 1.2. Dãy số {un} thỏa mãn điều kiện
u1
u0
=
u2
u1
= · · · = un+1
un
được gọi là một cấp số nhân.
Khi dãy số {un} lập thành một cấp số nhân thì thương q = u1
u0
được gọi là một
công bội của cấp số đã cho.
Nhận xét 1.3. Theo định nghĩa 1.2, nếu một dãy số hữu hạn các phần tử
u1, u2, . . . , un
(với mỗi phần tử trong dãy khác không) thỏa mãn tính chất
u1
u0
=
u2
u1
= · · · = un+1
un
thì dãy số u1, u2, . . . , un được gọi là một cấp số nhân với công bội q=
u1
u0
được gọi là
một cấp số nhân
6Nhận xét 1.4. Cho {un} là một cấp số nhân công bội q 6= 1, ta có
un = q.un−1 = u1.qn−1, n = 1, 2, . . .
u2k = uk−1uk+1, k > 2.
Sn = u1.
1− qn
1− q
1.1.3 Cấp số điều hoà
Định nghĩa 1.3. Dãy số {un} ,(un 6= 0, ∀n ∈ N) thỏa mãn điều kiện
un =
2un−1un+1
un−1 + un+1
được gọi là cấp số điều hòa.
Bài toán 1.4. Chứng minh rằng dãy số {un} lập thành một dãy số điều hòa khi và
chỉ khi dãy đã cho thỏa mãn điều kiện.
un+1 =
1
2
un
− 1
un−1
.
Giải. Ta có
un+1 =
1
2
un
− 1
un−1
⇔ un+1 = unun−1
2un−1 − un
⇔ un(un−1 + un+1) = 2un−1un+1 ⇔ un = 2un−1un+1
un−1 + un+1
.
Vậy dãy số (un) lập thành một cấp số điều hòa.
1.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn
Trong phần nầy ta quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn cơ bản là tuần hoàn
cộng tính và tuần hoàn nhân tính.
1.2.1 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính
Định nghĩa 1.4. Dãy số {un} được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại số
nguyên dương l sao cho
un+l = un, ∀n ∈ N, (1.2)
7Số nguyên dương l bé nhất để dãy {un} thoả mãn điều kiện (1.2) được gọi là chu kì
cơ sở của dãy.
Định nghĩa 1.5. Dãy số {un} được gọi là dãy tuần phản hoàn cộng tính nếu tồn tại
số nguyên dương l sao cho
un+l = −un, ∀n ∈ N, (1.3)
Nhận xét 1.5. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đã cho là một dãy hằng.
Nhận xét 1.6. Dãy tuần hoàn ( cộng tính) chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng
un =
1
2
[
α+ β + (α − β)(−1)n+1] , α, β ∈ R
1.2.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính
Định nghĩa 1.6. Dãy số {un} được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số
nguyên dương s(s > 1)sao cho
usn = un, ∀n ∈ N, (1.4)
Số nguyên dương s bé nhất để dãy {un} thoả mãn điều kiện (1.4) được gọi là chu kì
cơ sở của dãy.
Nhận xét 1.7. Một dãy phản tuần hoàn cộng tính chu kì r thì sẽ tuần hoàn cộng
tính chu kì 2r
Định nghĩa 1.7. Dãy số {un} được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn
tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho
usn = −un, ∀n ∈ N.
Nhận xét 1.8. Mọi dãy {un} phản tuần hoàn chu kỳ r đều có dạng un = 1
2
(vn−vn+r),
với vn+2r = vn.
1.3 Dãy tuyến tính và phân tuyến tính
Trong phần này ta trình bày một số phương trình sai phân cơ bản có nghiệm là
các số thực và cách giải chúng.
81.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số
Trước hết, ta xét phương trình sai phân tuyến tính cấp một dạng
x1 = α, axn+1 + bxn = f(n), n ∈ N∗,
trong đó a, b, α là các hằng số (a 6= 0) và f(n) là biểu thức của n cho trước.
Nhận xét rằng các cấp số cơ bản là những dạng đặc biệt của phương trình sai
phân tuyến tính.
Bài toán 1.5. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân biết rằng số hạng
đầu tiên bằng 9 và công bội bằng 3.
Giải. Ta có
xn+1 = 3xn, x1 = 9.
Phương trình đặc trưng có nghiệm λ = 3. Do đó xn = c.3
n. Do x1 = 9 suy ra c = 3.
Vậy xn = 3
n+1.
Bài toán 1.6. Cho a, b, α là các số thực cho trước (a 6= 0) và dãy {xn} xác định như
sau
x0 = α, axn+1 + bxn = 0, n = 0, 1, 2, . . .
Tìm số hạng tổng quát củ ... nh nhân, ta có
xn =
1
2
(
xn−1 +
β2
xn−1
)
> β, ∀n ∈ N∗.
Mặt khác, ta có
xn−1 − xn = xn−1 − 1
2
(
xn−1 +
β2
xn−1
)
=
1
2
(
xn−1 − β
2
xn−1
)
=
1
2
(x2n−1 − β2
xn−1
)
=
1
2
(xn−1 − β
xn−1
)(xn−1 + β
xn−1
)
> 0.
Suy ra dãy {xn} là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới. Gọi x là giới hạn của dãy, từ
công thức
xn =
1
2
(
xn−1 +
β2
xn−1
)
, ∀n ∈ N∗.
Suy ra
x =
1
2
(
x+
β2
x
)
.
Do đó x = β, vì x > 0. Vậy lim
n→∞
xn = β.
77
Bài toán 3.5. Cho β > 0 và dãy số {xn} xác định bởi công thức
x0 = α,α > 0
xn =
1
k + 1
(
kxn−1 +
βk+1
xkn−1
)
, n ∈ N∗
Xác định lim
n→∞
xn.
Giải. Theo công thức xác định dãy {xn}, ta có
xn =
1
k + 1
(
kxn−1 +
βk+1
xkn−1
)
, ∀n ∈ N∗.
Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy {xn} là dãy số dương với mọi n ∈ N∗. Áp
dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có
xn =
1
k + 1
(
kxn−1 +
βk+1
xkn−1
)
> β, ∀n ∈ N∗.
Mặt khác, ta có
xn−1 − xn = xn−1 − 1
k + 1
(
kxn−1 +
βk+1
xkn−1
)
=
1
k + 1
(
xn−1 − β
k
xkn−1
)
=
1
k + 1
(xk+1n−1 − βk+1
xkn−1
)
=
1
k + 1
(xn−1 − β)g(xn−1) > 0.
Suy ra dãy {xn} là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới. Gọi x là giới hạn của dãy, từ
công thức
xn =
1
k + 1
(
kxn−1 +
βk+1
xkn−1
)
, ∀n ∈ N∗.
Suy ra
x =
1
2
(
x+
βk+1
xk
)
.
Do đó x = β, vì x > 0. Vậy lim
n→∞
xn = β.
3.2 Một số ước lượng tổng và tích vô hạn phần tử
Bài toán 3.6. Cho {xn} xác định như sau
xm =
m∑
k=1
k
k4 + k2 + 1
.
Tìm x2005 và lim
n→∞
xn.
78
Giải. Nhận xét rằng
n
n4 + n2 + 1
=
n
(n2 + n+ 1)(n2 − n+ 1) =
1
2
( 1
n2 − n+ 1 −
1
n2 + n+ 1
)
.
Mặt khác n2 + n + 1 = (n+ 1)2 − (n+ 1) + 1. Suy ra
xm =
1
2
(1
1
− 1
3
)
+
1
2
(1
3
− 1
7
)
+
1
2
(1
7
− 1
13
)
· · ·+ 1
2
( 1
m2 −m+ 1 −
1
m2 +m+ 1
)
=
1
2
(
1− 1
m2 +m+ 1
)
=
1
2
( m2 +m
m2 +m+ 1
)
.
Vậy nên
x2005 =
2011015
4022031
, lim
n→∞
xn =
1
2
.
Bài toán 3.7. Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = 5, xn+1 = x2n − 2, n > 1. Tính
lim
n→∞
xn+1
x1x2 . . . xn
.
Giải. Từ công thức xác định dãy, bằng quy nạp ta chứng minh được rằng x2n >
2, ∀n ∈ N. Mặt khác
x2n+1 − 4 = (x2n − 2)2 − 4 = x2n(x2n − 4)
= · · · = (x1x2 . . . xn)2(x21 − 4) = 21(x1x2 . . . xn)2.
Suy ra ( xn+1
x1x2 . . . xn
)2
= 21 +
4(
x1x2 . . . xn
)2 .
Mà ta có
0 6 lim
n→∞
4(
x1x2 . . . xn
)2 6 limn→∞ 4.2−2n = 0.
Vậy nên
lim
n→∞
( xn+1
x1x2 . . . xn
)2
=
(
lim
n→∞
xn+1
x1x2 . . . xn
)2
= lim
n→∞
(
21 +
4(
x1x2 . . . xn
)2) = 21.
Bài toán 3.8. Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = 5, xn+1 = x2n − 2, n > 1. Tính
lim
n→∞
xn+1
x1x2 . . . xn
.
79
Giải. Từ công thức xác định dãy, bằng quy nạp ta chứng minh được rằng xn >
2, ∀n ∈ N. Mặt khác
x2n+1 − 4 = (x2n − 2)2 − 4 = x2n(x2n − 4)
= · · · = (x1x2 . . . xn)2(x21 − 4) = 21(x1x2 . . . xn)2.
Suy ra ( xn+1
x1x2 . . . xn
)2
= 21 +
4(
x1x2 . . . xn
)2
Mà ta có
0 6 lim
n→∞
4(
x1x2 . . . xn
)2 6 limn→∞ 4.2−2n = 0
Vậy
lim
n→∞
( xn+1
x1x2 . . . xn
)2
=
(
lim
n→∞
xn+1
x1x2 . . . xn
)2
= lim
n→∞
(
21 +
4(
x1x2 . . . xn
)2) = 21
Bài toán 3.9. Cho dãy số {xn} xác định bởi công thức x0 = 1xn = xn−1 + 1
xn−1
, n = 2, 3, . . .
Chứng minh rằng 63 < x1996 < 78.
Giải. Theo cách xác dịnh dãy, ta có dãy {xn} ta có
xn = xn−1 +
1
xn−1
> xn−1, ∀n ∈ N∗.
Nên {xn} là dãy số tăng, xn > 1, ∀n ∈ N∗. Mặt khác ta có
x2n = x
2
n−1 +
1
x2n−1
+ 2 > x2n−1 + 2, ∀n ∈ N∗. (3.1)
Theo công thức xác định dãy:
xn = xn−1 +
1
xn−1
> xn−1 > 1⇒ 1
x2n−1
− 1 6 0, ∀n ∈ N.
Suy ra
x2n − 3 = x2n−1 +
1
x2n−1
− 1 6 x2n−1, ∀n ∈ N∗. (3.2)
80
Từ (3.1) và (??), suy ra
x2n−1 + 2 6 x2n 6 x2n−1 + 3,∀n ∈ N∗.
Lần lượt cho n = 2, 3, . . . , k trong biểu thức trên ta có
x21 + 2 6 x22 6 x21 + 3
x22 + 2 6 x23 6 x22 + 3
· · · · · ·
x2k−1 + 2 6 x2k 6 x2k−1 + 3
Thực hiện cộng k − 1 đẳng thức trên theo vế và rút gọn các số hạng đồng dạng, suy
ra
x21 + (k − 1)2 6 x2k 6 x21 + (k − 1)3.
Thay u1 = 1 ta được
2k − 1 6 x2k 6 3k − 2.
Suy ra √
2.1996 − 1 6 x21996 6
√
3.1996 − 2.
Vậy 63 < x1996 < 78.
Bài toán 3.10. Cho dãy số {xn} xác định bởi công thức x0 = m+ 1,m > 0xn = xn−1 + 1
xn−1
, n = 2, 3, . . .
Chứng minh rằng
√
m2 + 2m+ 2n+ 1 < xn <
1
2m+ 2
+
√
m2 + 2m+ 2n+ 1.
Giải. Theo công thức xác định dãy ta có
xn = xn−1 +
1
xn−1
> xn−1
và
xn − xn−1 = 1
xn−1
> 0
81
⇔ (xk+1 + xk)(xk+1 − xk) > 2xk. 1
xk
= 2
⇔ x2k+1 − x2k > 2
⇒
n−1∑
k=0
(
x2k+1 − x2k
)
> 2n
⇔ x2n − x20 > 2n.
Suy ra
xn >
√
x20 + 2n. (3.3)
Mặt khác, vì x0 < x1 < x2 < · · · nên
xk+1 − xk = 1
xk
<
1
x0
⇔ xk+1 − xk − 1
x0
< 2xk
⇔
(
xk+1 − xk − 1
x0
)
(xk+1 − xk) < 2
⇔ (x2k+1 − x2k)−
1
x0
(xk+1 − xk) < 2
⇒
n−1∑
k=0
(
x2k+1 − x2k
)
− 1
x0
n−1∑
k=0
(
xk+1 − xk
)
< 2n
⇔ x2n − x20 −
1
x0
(xn − x0) < 2n
⇔ xn < 1
2x0
+
1
2
√
1
x20
+ 4(x20 + 2n− 1).
Do x0 = m+ 1 > 1 nên
1
x20
− 4 < 0, suy ra
xn <
1
2x0
+
√
x20 + 2n (3.4)
Từ (3.3) và (3.4) ta có
√
x20 + 2n < xn <
1
2x0
+
√
x20 + 2n.
Vậy √
m2 + 2m+ 2n+ 1 < xn <
1
2m+ 2
+
√
m2 + 2m+ 2n+ 1.
Bài toán 3.11. Cho dãy số x1, x2, x3 là ba số hạng của một cấp số nhân công bội
q > 0. Hỏi với điều kiện nào của q thì các số x1, x2, x3 là ba cạnh của một tam giác.
82
Giải. Gọi ba cạnh của tam giác lần lượt x1, x2, x3 là các số hạng liên tiếp của một cấp
số nhân. Khi đó, xi > 0; i = 1, 2, 3. Không mất tính tổng quát, giả sử x1 < x2 < x3.
Ta có x2 = x1q, x3 = x1q
2. Theo bất đẳng thức trong tam giác:
x1 + x1q > x1q
2
x1q
2 + x1q > x1
x1 + x1q
2 > x1q
⇔

1 + q − q2 > 0
q2 + q − 1 > 0
q2 − q + 1 > 0
⇔
√
5− 1
2
< q <
√
5 + 1
2
.
Vậy
√
5− 1
2
< q <
√
5 + 1
2
.
3.3 Tính chất của một số dãy số phi tuyến
Bài toán 3.12. Cho dãy số {xn} và {xn} thoả mãn các điều kiện
xn+1 = x
3
n − 3xn; yn+1 = y3n − 3yn, ∀n > 1, x21 = y1 + 2
Chứng minh rằng x2n = yn + 2, ∀n > 1.
Giải. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Khi n = 1 đẳng thức đúng. Giả
sử đẳng thức đúng khi n = k, với k ∈ N, k > 1, ta có x2k = yk + 2. Ta chứng minh
x2k+1 = yk+1 + 2. Thật vậy, theo giả thiết ta có
xk+1 = x
3
k − 3xk
⇒ x2k+1 = x6k − 6x4k + 9x2k
= (yk + 2)
3 − 6(yk + 2)2 + 9(yk + 2)
⇔ x2k+1 = y3k − 3yk + 2 = yk+1 + 2
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có x2n = yn + 2, ∀n > 1.
Bài toán 3.13. Cho dãy số {xn} có số hạng tổng quát là xn = 3(n2 + n) + 7, n ∈ N.
Chứng minh rằng trong dãy số đã cho, không có số hạng nào là lập phương của một
số tự nhiên.
Giải. Giả sử tồn tại một số tự nhiên m sao cho
3(n2 + n) + 7 = m3 ⇔ 3n(n + 1) + 7 = m3,
83
Vì n ∈ N nên n(n + 1) là số chẵn, suy ra 3n(n + 1) + 7 là số lẻ, do đó m3 là một số
lẻ. Đặt m = 2k + 1, k ∈ N. Như vậy, suy ra
3n2+3n+7 = 8k3+12k+6k+1 ⇔ 3n2+3n+6 = 8k3+12k+6k ⇔ 8k3 = 3(n2+n−4k−2k−2)
Vì 3(n2 + n− 4k − 2k − 2)...3 nên 8k3...3. Đặt t = 3l, l ∈ N. Suy ra
n2 + n+ 2 = 72l + 36l + 6l
Ta có 72l+ 36l+6l chia hết cho 3, mà n2 + n+ 2 không chia hết cho 3 ∀n ∈ N (mâu
thuẫn).
Vậy trong dãy số đã cho, không có số hạng nào là lập phương của một số tự nhiên.
Dãy phân tuyến tính
Bài toán 3.14. Cho α > 1 , và dãy số {xn} được xác định bởi
xn =
αn − 1
n
, n = 1, 2, . . .
Chứng minh rằng {xn} là dãy số tăng.
Giải. Xét hiệu xn+1 − xn, ta có
xn+1 − xn = α
n+1 − 1
n + 1
− α
n − 1
n
=
n(αn+1 − 1)− (n+ 1)(αn − 1)
n(n+ 1)
=
nαn+1 − (n+ 1)αn + 1
n(n+ 1)
=
(α− 1)(nαn − 1− α − · · · − αn)
n(n+ 1)
> 0, ∀n ∈ N∗.
Vậy nên {xn} là dãy số tăng.
Bài toán 3.15. Cho dãy số {xn} xác định bởi công thức
x1 =
1
2
, xn+1 = x
2
n + xn, ∀n ∈ N∗.
Tìm phần nguyên của số
A =
1
x1 + 1
+
1
x2 + 1
+ · · ·+ 1
x2007 + 1
.
84
Giải. Theo cách xác định dãy ta có xn > 0, xn+1 > xn, ∀n ∈ N. Từ giả thiết
xn+1 = x
2
n + xn, suy ra
1
xk + 1
=
xk
xk(xk + 1)
=
1
xk
− 1
xk+1
(3.5)
Lần lượt thay k = 1, 2, . . . , 2007 vào công thức (3.5) rồi cộng theo vế, ta có
A =
1
x1 + 1
+
1
x2 + 1
+ · · ·+ 1
x2007 + 1
=
( 1
x1
− 1
x2
)
+
( 1
x2
− 1
x3
)
+ · · ·+
( 1
x2007
− 1
x2008
)
=
1
x1
− 1
x2008
= 2− 1
x2008
 0).
Mặt khác, ta có:
x1 =
1
2
x2 =
1
4
+
1
2
=
3
4
x3 =
9
16
+
3
4
=
21
16
> 1.
Mà {xn} là dãy số tăng, nên x2008 > x3 > 1, suy ra A > 1. Do đó 1 < A < 2.
Vậy [A] = 1.
85
Kết luận
Luận văn đã giải quyết được các vấn đề chính sau
(i) Nêu các khái niệm liên quan đến các dãy số đặc biệt: cấp số cộng, cấp số
nhân, cấp số điều hoà, các khái niệm tuần hoàn cộng tính và tuần hoàn nhân tính.
(ii) Giải quyết các bài toán xác định dãy số dạng tuyến tính với hệ số hằng có
phương trình đặc trưng dạng bậc hai, bậc ba có các nghiệm đều thực. Xét một số bài
toán xác định dãy số dạng tuyến tính với hệ số là luỹ thừa của n có phương trình đặc
trưng dạng bậc hai, bậc ba có nghiệm thực.
(iii) Trình bày các bài toán xác định dãy số dạng bậc nhất y = ax, bậc hai
y = ax2, phân tuyến tính (y =
ax+ b
cx+ d
, trong đó ad− bc 6= 0), hàm phân thức bậc hai
chia bậc nhất (y =
x2 + d
2x
) và hàm phân thức bậc nhất chia bậc hai (y =
2x
1 + dx2
).
(iv) Trình bày các dạng toán liên quan đến các dãy số đặc biệt: bài toán ước
lượng tổng và tích vô hạn phần tử, bài toán tính giới hạn của một số dãy số, các tính
chất của dãy phi tuyến.
Trong mỗi phần của luận văn, tác giả đã cố gắng trình bày chi tiết các cách giải
và có những ví dụ cụ thể để mô tả tường minh phương pháp đưa ra trước đó, đồng
thời trong phần một số bài tập áp dụng ở cuối mỗi chương và chương 3, tác giả đã
thực hiện nêu một số dạng toán liên quan đến bài toán xác định dãy và các bài toán
liên quan đến dãy số.
86
Tài liệu tham khảo
[1] Phan Huy Khải, (2007), Các bài toán về dãy số, NXB Giáo Dục.
[2] Phan Huy Khải, (1996), 10000 bài toán về dãy số , NXB Hà Nội.
[3] Nguyễn Văn Mậu, (2007), Nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), (2004), Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi
dưỡng học sinh giỏi. ĐHKHTN Hà Nội
[5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), (2007), Một số chuyên đề toán chọn lọc. NXB Giáo
Dục.
[6] Nguyễn Văn Mậu, (2005), Một số bài toán chọn lọc về dãy số, NXB Giáo Dục.
[7] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh, (2003), Giới hạn của dãy số và hàm số,
NXB Giáo Dục.
[8] Các đề thi Olympic Toán học Quốc tế, 1965-2005.
[9] Các đề thi vô địch toán 19 nước, (2002), NXB Trẻ.
[10] Tủ sách toán học & tuổi trẻ, Các bài thi Olympic toán trung học phổ thông Việt
Nam (1990-2006), (2007), NXB Giáo Dục.
[11] Tuyển tập các đề thi Olympiad 30 - 4.
[12] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và Tuổi trẻ (Quyển 1), (2005), NXB Giáo
Dục.
[13] Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, (1998), NXB Giáo Dục.
[14] Tạp chí Crux, 1996 - 2006, www.khoia0.com , www.mathnfriend.net,
www.kalva.demon.co.uk, www.mathlinks.ro, www.diendantoanhoc.net