Luận văn Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Dương Thị Thu Thuý
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐA THỨC THỰC
VÀ ÁP DỤNG
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60 46 40
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Quy Nhơn, năm 2008
0Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4
1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các định lý dạng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . 8
2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 15
2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt . . . . . . . 15
2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . 19
2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai . . . . . . . . 20
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1Lời nói đầu
Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong
đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh)
khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một
nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số
thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những
kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi
là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa
vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát
khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức
biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là
định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo
hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức
P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P ′(x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực.
Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k
nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm)
F1(x) =
x∫
x1
P (t)dt (1)
có đủ k + 1 nghiệm thực?
Tương tự, khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ
cho một nguyên hàm cấp s (s > 1) (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng
Fs(x) =
x∫
xs
Fs−1(x)dt (2)
có đủ k + s nghiệm thực?
2Luận văn nhằm tập trung giải quyết các câu hỏi trên. Đó chính là các định lý
đảo của định lý Lagrange đối với lớp các đa thức thực. Đặc biệt, đối với những lớp
đa thức không thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), ta sẽ xét bài toán "nắn lại" đồ thị
của đa thức đó bằng cách thêm một số nút nội suy để các điều kiện (1) và (2) được
thoả mãn.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 2 chương
Chương 1 bao gồm ba phần, trong phần đầu tác giả khái quát lại một số kiến
thức bổ trợ về đa thức, đạo hàm của đa thức và quy tắc dấu Descartes. Phần thứ hai
là các định lý dạng Viète, nêu cách biểu diễn đa thức qua hệ nghiệm của nguyên hàm
kết hợp với phương pháp nội suy đa thức theo các yếu tố hình học. Phần tiếp theo,
tác giả nêu lên định lý về số nghiệm của đa thức nguyên hàm. Định lý 1.11; 1.13 chỉ
ra điều kiện cần và đủ để một đa thức với các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên
hàm cũng có các nghiệm đều thực. Trên cơ sở đó trình bày điều kiện để tồn tại đa
thức nguyên hàm tới cấp tuỳ ý cho trước sao cho số nghiệm thực của các nguyên hàm
đó tăng lên theo từng cấp của nguyên hàm (Định lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18
1.19 ).
Chương 2 bao gồm ba phần, phần đầu cũng chính là phần trọng tâm của chương
này. Tác giả đưa ra nhận xét về tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm có
dạng đặc biệt và đưa ra cách "nắn lại" đồ thị của các đa thức đó để các đa thức nhận
được thoả mãn điều kiện (1) và (2) (Định lý 2.1, 2.2). Phần tiếp theo, luận văn trình
bày một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. Phần cuối
cùng, tác giả dựa vào các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số
dạng bất đẳng thức đối với đa thức nguyên hàm.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tâm và nghiêm
khắc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư - người thầy đã truyền đạt
nhiều kiến thức quý báu cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong
suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào
tạo Đại học và Sau Đại học, các anh chị, bạn bè lớp cao học Toán K8-Đại học Quy
Nhơn và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này.
3Hệ thống các ký hiệu
sử dụng trong luận văn
- deg f(x) là bậc của đa thức f(x).
- F0(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c = 0,
tức là F0(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0.
- Fc(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c,
tức là Fc(x) = F0(x) + c với c ∈ R.
- F0,k(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c = 0,
tức là F0,k(x) thoả mãn điều kiện F0,k(0) = 0.
- Fc,k(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c,
tức là Fc,k(x) = F0,k(x) + c với c ∈ R.
- Hn là tập hợp đa thức với hệ số thực Pn(x) bậc n (n > 0) với hệ số tự do bằng 1
(Pn(0) = 1) và có các nghiệm đều thực.
- Mk(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x).
- R[x] là tập hợp đa thức với hệ số thực.
- sign a là dấu của số thực a, tức là
sign a :=

+ khi a > 0
0 khi a = 0
− khi a < 0.
4Chương 1
Định lý dạng Viète và các tính chất
liên quan
1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức
Định nghĩa 1.1. Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng
Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0,
trong đó các hệ số an, an−1, . . . , a0 là những số thực (hoặc phức)
và an 6= 0, n ∈ N.
Ta kí hiệu
i.Bậc của đa thức Pn(x) là degPn(x). Do vậy deg Pn(x) = n.
ii. an - hệ số bậc cao nhất (chính) của đa thức.
Chú ý 1.1. Trong luận văn này ta chỉ xét các đa thức Pn(x) với các hệ số của nó
đều là thực và gọi tắt là đa thức thực. Ký hiệu tập hợp các đa thức với hệ số thực là
R[x].
Định nghĩa 1.2. Cho đa thức
Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 (an 6= 0),
số α ∈ C được gọi là nghiệm của đa thức Pn(x) nếu Pn(α) = 0. Nếu tồn tại k ∈
N, k > 1, sao cho Pn(x)
...(x − α)k nhưng Pn(x) không chia hết cho (x − α)k+1 thì α
được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x).
5Đặc biệt, khi k = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì α được gọi là nghiệm
kép.
Chú ý 1.2. Nghiệm của đa thức thực còn được gọi là không điểm của đa thức đó.
Định lý 1.1 (Gauss). Mọi đa thức bậc n > 1 trên trường C đều có đúng n nghiệm
nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng bội của nó.
Định lý 1.2. Mọi đa thức f(x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số chính an 6= 0, đều có thể
phân tích thành nhân tử dạng
f(x) = an
m∏
j=1
(x− di)
s∏
k=1
(x2 + bkx+ ck)
với di, bk, ck ∈ R, 2s+m = n, b2k − 4ck < 0,m, n ∈ N∗.
Hệ quả 1.1.
(1) Số nghiệm phức của một đa thức với hệ số thực (nếu có) luôn luôn là số chẵn.
(2) Nếu đa thức f(x) với hệ số thực chỉ có nghiệm phức thì f(x) là một đa thức bậc
chẵn.
(3) Nếu đa thức bậc n có k nghiệm thực k 6 n thì n và k cùng tính chẵn lẻ.
(4) Đa thức bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực.
Định lý 1.3. Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực.
Định lý 1.4 (Tính chất hàm của đa thức). Mọi đa thức P (x) ∈ R[x] đều xác
định và liên tục trên R. Ngoài ra, khi
Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · · + a1x+ a0, an 6= 0,
và x→ +∞ thì P (x)→ sign (an)∞.
Khi x→−∞ thì P (x)→ (−1)n sign (an)∞.
Tiếp theo, ta xét một số tính chất của đa thức đạo hàm.
Định lý 1.8. Nếu x0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N, s > 1) của đa thức f(x) ∈ R[x] và
x0 cũng là nghiệm của nguyên hàm F (x) của f(x) thì x0 là nghiệm bội bậc s+ 1 của
đa thức nguyên hàm F (x).
6Ta chuyển sang xét quy tắc dấu Descartes .
Xét dãy số thực a0, a1, a2, . . ..
Định nghĩa 1.3. Chỉ số m (m ∈ N,m > 1) được gọi là vị trí (chỗ) đổi dấu của dãy
nếu có am−1am < 0 hoặc là
am−1 = am−2 = · · · = am−(k−1) = 0 trong đó am−kam k > 2).
Trong trường hợp thứ nhất thì am−1 và am, còn trong trường hợp thứ 2 thì am−k và
am lập thành vị trí đổi dấu. Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi dấu) của một dãy nào
đó vẫn không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại
vẫn bảo toàn vị trí tương đối của chúng.
Định nghĩa 1.4. Ta coi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức
P (x) = anx
n + an−1xn−1 + · · · + a1x+ a0
chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hệ số tuỳ ý
an, an−1, . . . , a1, a0.
Tính chất 1.7 (Quy tắc dấu Descartes). Giả sử N là số không điểm dương của
đa thức
f(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn
và W là số lần đổi dấu trong dãy các hệ số của nó. Ta có W > N và W −N là một
số chẵn.
Tính chất 1.8. Cho đa thức f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · · + anxn (an 6= 0) có các
nghiệm đều thực, gọi W là số vị trí đổi dấu của dãy hệ số a0, a1, . . . , an và N là số
không điểm dương của đa thức f(x) thì W = N.
1.2 Các định lý dạng Viète
Định lý Rolle đã cho ta một thuật toán dựng các đa thức có các nghiệm đều
thực từ các đa thức có các nghiệm đều thực cho trước bằng phép lấy đạo hàm. Ta
đã biết rằng, mọi đa thức có các nghiệm đều thực đều được biểu diễn một cách duy
7nhất qua hệ nghiệm của nó. Đó chính là nội dung của định lý Viète quen thuộc trong
chương trình toán của bậc phổ thông.
Nhận xét rằng, định lý Viète đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệm của đa
thức với tất cả các hệ số trong đa thức đó. Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết
quả tương tự trong trường hợp khi ta còn chưa tường minh các nghiệm của một đa
thức. Điều này rất có ý nghĩa khi xét các điều kiện để một đa thức có tất cả các
nghiệm đều thực. Trước hết, ta xét một số dạng đa thức có bậc thấp.
Bổ đề 1.2 (Định lý dạng Viète đối với tam thức bậc hai).
Tam thức bậc hai với hệ số thực f(x) = 3x2 − 2bx + c có nghiệm thực khi và chỉ khi
các hệ số b, c có dạng b = α+ β + γc = αβ + βγ + γα. (1.1)
trong đó α, β, γ ∈ R.
Bổ đề 1.3 (Định lý dạng Viète đối với đa thức bậc 3).
Đa thức bậc 3 với hệ số thực f(x) = −4x3 + 3ax2 − 2bx + c có các nghiệm đều thực
khi và chỉ khi các hệ số a, b, c có dạng
a = α + β + γ + δ
b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ
c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ
(1.2)
trong đó α, β, γ, δ ∈ R.
Ví dụ 1.1. Cho α = 1, β = −1, γ = 2, δ = 4 thay vào công thức (1.2) ta thu được
a = −5, b = 5, c = −5.
Khi đó đa thức f(x) = −4x3 + 15x2 − 10x− 5 có 3 nghiệm thực là
x1 ≈ −0, 33; x2 ≈ 1, 47; x3 ≈ 2, 61.
Nhận xét rằng, nếu ta chọn m = −6(= αβγδ) thì đa thức nguyên hàm
F (x) = −x4 + 5x3 − 5x2 − 5x+ 6
có bốn n ... đa thức đã cho f(x).
Ta xét đa thức g(x) bằng cách thêm vào đa thức f(x) các 0-điểm (nghiệm) để khi
đó
x∫
x1
g(t)dt
có nhiều hơn đa thức g(x) một nghiệm.
Trước tiên ta sẽ xem xét các đa thức có dạng
f(x) = xk0(x+ λ1)
k1(x+ λ2)
k2 · · · (x+ λn)kn ,
trong đó
λ1 1 k0 + k1 + k2 + · · ·+ kn = N.
16
Định lý 2.1. Cho đa thức
f(x) = xk0(x+ λ1)
k1(x+ λ2)
k2 · · · (x+ λn)kn ,
trong đó
λ1 6= λ2 6= · · · 6= λn, k0, k1, . . . , kn ∈ N∗ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · ·+ kn = N.
Đặt g(x) = f(x)(xn+Bn−1x2+Bn−2x+ · · ·+B1x+B0), ta có deg g(x) = N +n. Khi
đó điều kiện cần và đủ để tồn tại một đa thức nguyên hàm G(x) của g(x) có N+n+1
nghiệm là
Bn−1 =
n∑
i=1
λi
(
N + n− ki
)
N + n+ 1
Bn−2 =
N + n − 1
N + n+ 1
[ n∑
i=0
(
2
ki + 1
)
λ2 +
n∑
i=1 i 6=j
(
1
ki + 1
)(
1
kj + 1
)
λiλj
]
−
−Bn−1
n∑
i=0
(
1
ki
)
λi −
[ n∑
i=0
(
2
ki
)
λ2 +
n∑
j=0i 6=j
(
1
ki
)(
1
kj
)]
· · ·
B1 =
n∑
i=0
k0 + 2
N + n+ 1
n∏
j=1
λj(ki + 1) −B0ki
λi
B0 =
k0 + 1
N + n+ 1
n∏
i=1
λi
Ví dụ 2.1. Cho đa thức f(x) = x2(x+ 1)3(x− 1)3. Đa thức này có một nguyên hàm
tương ứng F0(x) có tối đa bốn nghiệm thực khi đường thẳng y = 0 đi qua F0(1) hoặc
đi qua F0(1).
Theo bổ đề (2.2), ta có k = 2, l = 3; λ1 = −1, h = 3; λ2 = 1.
Do đó đa thức cần thêm (x2− 3
11
), tức là cần thêm vào hai 0−điểm x1 =
√
3
11
;x2 =
−
√
3
11
, khi đó ta sẽ xét đa thức
g(x) = f(x)(x2 − 3
11
) =
(
x10 − 36
11
x8 +
42
11
x6 − 20
11
x4 − 3
11
x2)(x2 − 3
11
)
có một nguyên hàm tương ứng là
G0(x) =
x3
11
[
x8 − 4x6 + 6x4 − 4x2 + 1
]
=
x3
11
(x− 1)4(x+ 1)4
có 11 nghiệm thực.
17
Ví dụ 2.2. Cho đa thức f(x) = x2(x+1)3(x−1)3(x+2)2. Đa thức này có một nguyên
hàm tương ứng F0(x) có tối đa bốn nghiệm thực khi đường thẳng y = 0 đi qua F0(1)
hoặc đi qua F0(1). Khi đó ta xét đa thức
g(x) =f(x)(x3 +
22
14
x2 − 6
14
x− 6
14
)
có một nguyên hàm tương ứng là
G0(x) =
x3
14
(x+ 1)4(x− 1)4(x+ 2)3
có 14 nghiệm thực.
Ta tiếp tục xét các đa thức có dạng
f(x) = xk0(x+ λ1)
k1(x+ λ2)
k2 · · · (x+ λn)kn(x+ β1)(x+ β2) · · · (x+ βm),
trong đó
λ1 6= λ2 6= · · · 6= λn, k0, k1, . . . , kn ∈ N∗ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · ·+ kn = N.
Định lý 2.2. Cho đa thức
f(x) = xk0(x+ λ1)
k1(x+ λ2)
k2 · · · (x+ λn)kn(x+ β1)(x+ β2) · · · (x+ βm),
trong đó
λ1 6= λ2 6= · · · 6= λn, k0, k1, . . . , kn ∈ N∗ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · ·+ kn = N.
Đặt
g(x) = f(x)(xn0 +Bn0−1x
2 +Bn0−2x+ · · · +B1x+B0), n0 = n+m− 1.
Ta được
deg g(x) = N + 2m+ n− 1, đặt deg g(x) = h− 1.
Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại một đa thức nguyên hàm G0(x) của g(x) có
18
N + n + 2m = h nghiệm là
Bn0−1 =
(h− 2)E1(β) + h
n∑
i=1
λi −
n∑
i=1
(ki + 1)λi
h
Bn0−2 =
h− 2
h
[
E21(β) + 2E1(β)
n∑
i=1
(ki + 1)λi + 2E2(β)
+
n∑
i=1
(
2
ki+1
)
λ2i +
n∑
i=1i 6=j
(
1
ki+1
)(
1
kj+1
)
λiλj
]
−Bn0−1
[ n∑
i=1
kiλi + E1(β)
]
−
n∑
i=1
(
2
ki
)
λ2i −
n∑
i=1
(
1
ki
)(
1
kj
)
λiλj −E1(β)
n∑
i=1
kiλi −E2(β)
· · ·
B1 =
k0 + 2
h
Em−1(β)
Em(β)
n∏
i=1
λi +
n∏
j=1
λj
h
[ n∑
i=1
ki
λi
Em(β) + Em−1(β)
]
B0 =
k0 + 1
h
n∏
i=1
λiEm(β).
Ví dụ 2.3. Cho đa thức f(x) = x2(x+ 1)2(x− 2). Đa thức này có một nguyên hàm
tương ứng F0(x) có tối đa 3 nghiệm thực khi đường thẳng y = 0 đi qua F0(0) hoặc đi
qua F0(−1).
Ta xét đa thức
g(x) = f(x)(x2 − 7
8
x− 6
8
)
có một nguyên hàm tương ứng là
G0(x) =
x3
8
[
x5 − x4 + 5x3 + x2 + x+ 4
]
=
x3
8
(x+ 1)3(x− 2)2.
Đa thức G0(x) = 0 có 8 nghiệm thực.
Ví dụ 2.4. Cho đa thức f(x) = x2(x+1)2(x− 2)(x− 1). Đa thức này có một nguyên
hàm tương ứng F0(x) có tối đa 3 nghiệm thực khi đường thẳng y = 0 đi qua F0(0)
hoặc đi qua F0(−1).
Ta xét đa thức
g(x) =f(x)(x3 − 17
10
x2 − 3
10
x+
6
10
)
có một nguyên hàm tương ứng là
G0(x) =
x3
10
[
x7 − 3x6 − 2x5 + x4 − 11x2 + 4
]
=
x3
10
(x+ 1)3(x− 2)2(x− 1)2.
19
Đa thức G0(x) = 0 có 10 nghiệm thực.
2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của
đa thức nguyên hàm
Các định lý 1.11 và 1.13 đã chỉ ra tiêu chuẩn để nhận biết một đa thức có
nghiệm thực cho trước có tồn tại hay không một nguyên hàm có số nghiệm thực nhiều
hơn đa thức đã cho và phương pháp xác định nguyên hàm đó. Nhận xét rằng, phép
tích phân không làm thay đổi dấu của các hạng tử trong đa thức.Như vậy khi hằng
số c ∈ R của nguyên hàm Fc(x) = F0(x) − c xác định, ta có thể đánh giá được số
nghiệm dương, số nghiệm âm của đa thức Fc(x) dựa vào quy tắc dấu Descartes.
Bài toán 2.3. Cho đa thức f(x) = 5x(x − 1)(x − 2)(x − 3). Xác định hằng số c để
nguyên hàm Fc(x) của đa thức f(x) có các nghiệm đều thực. Hãy cho biết số nghiệm
dương của đa thức Fc(x) trong trường hợp đó.
Bài toán 2.4. Cho đa thức f(x) = (−1)n(n+1)(x− x1)(x−x2)(x−x3) · · · (x−xn),
(x1 6 x2 6 x3 6 · · · 6 xn) có n nghiệm thực. Giả sử nguyên hàm F0(x) của f(x) thoả
mãn điều kiện
max
1≤i≤[n2 ]
F0(x2i) 6 min
0≤j≤[ n−12 ]
F0(x2j+1).
Chứng minh rằng với mọi α ∈ R luôn tồn tại c ∈ R sao cho đa thức F0(x)− c+αf(x)
có các nghiệm đều thực.
Bài toán 2.5. Cho đa thức x2 + αx + β có nghiệm thực với α, β ∈ R và đa thức
f(x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực. Giả sử tồn tại F1(x), F2(x) lần lượt là các
nguyên hàm cấp 1, cấp 2 của đa thức f(x) và có các nghiệm đều thực. Chứng minh
rằng đa thức
F2(x) + αF1(x) + βf(x)
có các nghiệm đều thực.
Bài toán 2.6. Cho đa thức x3 + αx2 + βx + γ có nghiệm thực với α, β, γ ∈ R và
đa thức f(x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực. Giả sử tồn tại F1(x), F2(x), F3(x) lần
lượt là các nguyên hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3 của đa thức f(x) chỉ có các nghiệm thực.
Chứng minh rằng đa thức
F3(x) + αF2(x) + βF1(x) + f(x)
20
có các nghiệm đều thực.
Bài toán 2.7. Cho đa thức P (x) ∈ R[x] sao cho
P (x) + P ′(x) = (x+ 2)(x+ 1)x(x− 1)(x− 2).
Chứng minh rằng tồn tại hằng số c ∈ R để hàm số P (x)− ce−x có 6 nghiệm thực.
Bài toán 2.8. Giả sử đa thức bậc lẻ P (x) có hệ số cao nhất bằng 1 và degP (x) = n,
(n > 4), α ∈ R, α 6= 0 cho trước sao cho đa thức P (x) + αP ′(x) có k (k 6 n) nghiệm
thực phân biệt là x1, x2, . . . , xk, (x1 < x2 < · · · < xk). Chứng minh rằng điều kiện để
tồn tại c ∈ R sao cho hàm số P (x)− ce− xα có ít nhất k nghiệm thực là
min
1≤i≤[ k−12 ]
F0(x2i) > max
0≤j≤[ k2 ]
F0(x2j+1),
trong đó F0(x) = e
x
αP (x).
2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên
hàm cấp hai
Định lý 2.3. Nếu f(x) khả vi bậc hai và lồi trên I(a, b) thì với mọi cặp x0, x ∈ I(a, b),
ta đều có
f(x) = min
u∈I(a,b)
[f(u) + f ′(u)(x− u)].
Tương tự, ta cũng có biểu diễn đối với hàm lõm.
Khi hàm số f(x) lõm và khả vi trên I(a, b) thì đồ thị của nó thuộc nửa mặt
phẳng dưới tạo bởi tiếp tuyến tại mỗi điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, tức là với mỗi cặp
x0, x ∈ I(a, b), ta đều có
f(x) 6 f(x0) + f ′(x0)(x− x0). (2.11)
Dễ nhận thấy rằng (2.3) xảy ra đẳng thức khi x0 = x. Vậy ta có thể viết (2.3) dưới
dạng
f(x) = max
u∈I(a,b)
[f(u) + f ′(u)(x− u)]. (2.15)
Vậy, chúng ta đã có một dạng biểu diễn hàm lồi và hàm lõm thông qua cực trị của các
hàm số bậc nhất phụ thuộc tham biến. Phép biểu diễn này được gọi là (theo Bellman)
21
biểu diễn á tuyến tính và nó đóng vai trò quan trọng như là một công cụ hữu hiệu
trong nhiều bài toán cực trị và tối ưu. Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1,2) là lớp
hàm đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai không đổi dấu trên I(a, b).
Định lý 2.4. Cho hai dãy số {xk, yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, . . . , n}, thoả mãn các điều
kiện
x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · ·+ yn.
Khi đó, ứng với mọi hàm f1(t), f2(t), . . . , fn(t) đồng biến hoặc nghịch biến liên tiếp
bậc (1,2) trên I(a, b), ta đều có
f1(x1)
f ′1(y1)
+
f2(x2)
f ′2(y2)
+ · · · + fn(xn)
f ′n(yn)
> f1(y1)
f ′1(y1)
+
f2(y2)
f ′2(y2)
+ · · ·+ fn(yn)
f ′n(yn)
. (2.16)
Tiếp theo, xét một số bất đẳng thức liên quan đến đa thức nguyên hàm cấp hai.
Cho hàm số f(t) có F0,1(t);F0,2(t) không đổi dấu trênI(a, b), tức là trong định lý
(2.4),(2.5),(2.6) ta thay hàm f(t) bằng F0,2(t) khi đó các định lý trên vẫn đúng. Vấn
đề đặt ra là chúng ta phải tìm ra các lớp hàm f(t) và khoảng I(a, b) tương ứng sao
cho F0,2(t) là hàm đơn điệu bậc (1,2).
Định lý 2.5. Cho đa thức f(x) = (x − x0)n > 0, ∀x ∈ (x0; +∞) và hai dãy số
{xk, yk ∈ (x0; +∞), k = 1, 2, . . . , n}, thoả mãn điều kiện
x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · ·+ yn.
Khi đó,
F0,2(x1)
F0,1(y1)
+
F0,2(x2)
F0,1(y2)
+ · · ·+ F0,2(xn)
F0,1(yn)
> F0,2(y1)
F0,1(y1)
+
F0,2(y2)
F0,1(y2)
+ · · ·+ F0,2(yn)
F0,1(yn)
. (2.17)
Định lý 2.6. Cho đa thức
f(x) = (x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)g(x) x1 0.
và hai dãy số {xk, yk ∈ (xn+2; +∞), k = 1, 2, . . . , n}, thoả mãn điều kiện
x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · ·+ yn.
Khi đó,
F0,2(x1)
F0,1(y1)
+
F0,2(x2)
F0,1(y2)
+ · · ·+ F0,2(xn)
F0,1(yn)
> F0,2(y1)
F0,1(y1)
+
F0,2(y2)
F0,1(y2)
+ · · ·+ F0,2(yn)
F0,1(yn)
. (2.18)
(với xn+2 là nghiệm lớn nhất của phương trình F0,2(x) = 0.)
22
Nhận xét 2.2. Đối với các đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m (m < n)
nghiệm thực, trong đó có một số bộ nghiệm kép và khoảng cách giữa hai nghiệm kép
lớn hơn hoặc bằng hai thì nội dung định lý 2.6 vẫn đúng.
Nhận xét 2.3. Ta có thể dựa vào định lý (2.5) và (2.6) để đưa ra các bất đẳng thức
tương tự.
23
Kết luận
Các kết quả chính của luận văn "Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng
" đã tập trung nghiên cứu, trình bày một số vấn đề sau:
1. Luận văn đã chứng minh điều kiện cần và đủ cho những lớp đa thức f(x) ∈ R[x]
với k nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm)
có đủ k + 1 nghiệm thực
Tương tự, cho một đa thức f(x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho một
nguyên hàm cấp s s > 1 (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng
Fs(x) =
x∫
xs
Fs−1(x)dt
có đủ k + s nghiệm thực.
2. Đối với các lớp đa thức dạng đặc biệt f(x) với deg f(x) = k nhưng
F1(x) =
x∫
0
f(t)dt không có đủ k + 1 nghiệm thực,
thì luôn tồn tại cách bổ sung thêm vào các 0−điểm để đa thức mới g(x) có deg = n
sao cho
G1(x) =
x∫
0
g(t)dt có đủ n+ 1 nghiệm thực.
3. Dựa các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số bất đẳng
thức xuất phát từ nguyên hàm của một số lớp đa thức đặc biệt.
4. Luận văn trình bày một số dạng bài toán khảo sát tổng quát số nghiệm của
đa thức nguyên hàm, từ đó chúng ta có thể áp dụng vào một số hàm cụ thễ để tạo ra
một lớp bài tập cho học sinh về đa thức nguyên hàm.
24
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Một số phương pháp giải phương trình và bất phương
trình, NXB Giáo Dục.
[2] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thuỷ Thanh, 2000, Phép tính vi
phân và tích phân hàm một biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh, 2002, Giới hạn dãy số và hàm số, NXB
Giáo Dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu, 2004,Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ,NXB Giáo Dục.
[5] Nguyễn Văn Mậu, 2006,Bất đẳng thức, định lý và áp dụng,NXB Giáo Dục.
[6] Nguyễn Văn Mậu, 2007, Nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục.