Luận án Phân tích ổn định tĩnh của vỏ trụ và vỏ trống làm từ FGM và FG-CNTRC có kể đến tính đàn hồi của liên kết biên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
Phạm Thanh Hiếu 
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA VỎ TRỤ VÀ VỎ TRỐNG 
LÀM TỪ FGM VÀ FG-CNTRC CÓ KỂ ĐẾN TÍNH ĐÀN HỒI 
CỦA LIÊN KẾT BIÊN 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ 
NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
Hà Nội - 2022 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
Phạm Thanh Hiếu 
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA VỎ TRỤ VÀ VỎ TRỐNG 
LÀM TỪ FGM VÀ FG-CNTRC CÓ KỂ ĐẾN TÍNH ĐÀN HỒI 
CỦA LIÊN KẾT BIÊN 
 Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
 Mã số: 9 52 01 01 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ 
NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. PGS.TS. Hoàng Văn Tùng 
 2. PGS.TS. Đào Như Mai 
Hà Nội - 2022 
I 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi là Phạm Thanh Hiếu, tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của 
riêng tôi. Các số liệu, kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được 
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. 
Nghiên cứu sinh 
 Phạm Thanh Hiếu 
II 
LỜI CẢM ƠN 
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới hai thầy, cô giáo hướng dẫn là 
PGS.TS Hoàng Văn Tùng và PGS.TS Đào Như Mai đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, 
động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án. 
Trong quá trình thực hiện luận án, tác giả đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, 
tạo điều kiện thuận lợi của lãnh đạo và tập thể cán bộ, các nhà khoa học trong Viện 
Cơ học, Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ 
Việt Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành về những sự giúp đỡ đó. 
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Công nghệ 
Giao thông vận vải và các đồng nghiệp trong Bộ môn Đường bộ, khoa Công trình đã 
tạo điều kiện, luôn quan tâm và động viên trong quá trình tác giả học tập và hoàn 
thiện luận án. 
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè và những 
người thân đã luôn động viên và chia sẻ những khó khăn của tác giả trong suốt quá 
trình thực hiện luận án. 
III 
MỤC LỤC 
 Trang 
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... I 
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................... II 
MỤC LỤC .............................................................................................................. III 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .............................................................. VII 
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ......................................................................... XII 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT...................................... XV 
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ..................................................................................... 6 
1.1. Vật liệu cơ tính biến đổi (FGM) và composite gia cường ống các-bon có 
cơ tính biến đổi (FG-CNTRC) ............................................................................. 6 
1.1.1. Vật liệu cơ tính biến đổi (FGM) ............................................................... 6 
1.1.2. Ống nano các-bon (CNT) .......................................................................... 6 
1.1.3. Composite gia cường CNT có cơ tính biến đổi ........................................ 7 
1.2. Các nghiên cứu về ổn định của vỏ kín FGM ............................................. 11 
1.3. Các nghiên cứu về ổn định của tấm và vỏ FG-CNTRC ........................... 15 
1.3.1. Ổn định của các tấm và panel FG-CNTRC ............................................ 15 
1.3.2. Ổn định của các vỏ kín FG-CNTRC ....................................................... 16 
1.3.3. Ổn định nhiệt đàn hồi của các tấm và vỏ FG-CNTRC ........................... 18 
1.3.4. Ứng xử của tấm và vỏ với các cạnh biên chịu liên kết đàn hồi .............. 19 
1.4. Tình hình nghiên cứu trong nước ............................................................... 20 
1.5. Về sự mất ổn định tĩnh của kết cấu ............................................................ 21 
1.5.1. Mất ổn định kiểu rẽ nhánh (bifurcation-type buckling) .......................... 22 
1.5.2. Mất ổn định kiểu giới hạn (limit-type buckling) ..................................... 23 
1.5.3. Biến dạng trước vồng và hiện tượng hóp ................................................ 23 
CHƯƠNG 2. ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH FGM CHỊU 
ÁP LỰC NGOÀI VÀ NHIỆT ĐỘ TĂNG ĐỀU ................................................... 25 
2.1. Mô hình vỏ trụ sandwich FGM .................................................................. 26 
IV 
2.1.1. Vỏ sandwich loại A: lớp lõi thuần nhất và các lớp mặt FGM ................ 26 
2.1.2. Vỏ sandwich loại B: lớp lõi FGM và các lớp mặt thuần nhất ................ 27 
2.2. Các phương trình cơ bản ............................................................................. 28 
2.3. Nghiệm giải tích của bài toán ổn định phi tuyến ....................................... 32 
2.4. Kế quả số và thảo luận ................................................................................. 36 
2.4.1. Nghiên cứu so sánh ................................................................................. 37 
2.4.2. Vỏ trụ sandwich FGM chịu áp lực ngoài trong môi trường nhiệt độ ..... 38 
2.4.3. Vỏ trụ sandwich FGM chịu nhiệt độ tăng đều ........................................ 43 
2.5. Kết luận chương 2 ........................................................................................ 47 
CHƯƠNG 3. ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ VÀ VỎ TRỐNG MỎNG 
FG-CNTRC VỚI CÁC CẠNH BIÊN TỰA DI ĐỘNG........................................ 49 
3.1. Mô hình kết cấu và các tính chất vật liệu .................................................. 50 
3.2. Các phương trình cơ bản ............................................................................ 53 
3.3. Nghiệm giải tích của bài toán ổn định ........................................................ 57 
3.3.1. Vỏ trống FG-CNTRC chịu nén dọc trục kết hợp với áp lực ngoài ......... 59 
3.3.1.1. Vỏ trống FG-CNTRC đặt trong môi trường nhiệt và chịu tải cơ ..... 61 
3.3.1.2. Vỏ trụ FG-CNTRC đặt trong môi trường nhiệt và chịu nén dọc 
trục ................................................................................................................. 61 
3.3.2. Vỏ trống FG-CNTRC chịu áp lực ngoài kết hợp với nén dọc trục ......... 61 
3.3.2.1. Vỏ trống FG-CNTRC đặt trong môi trường nhiệt và chịu các tải 
cơ ................................................................................................................... 62 
3.3.2.2. Vỏ trống FG-CNTRC đặt trong môi trường nhiệt và chịu áp lực ngoài
 ....................................................................................................................... 62 
3.4. Kết quả số và thảo luận ............................................................................... 63 
3.4.1. Các tính chất vật liệu và tham số hiệu quả CNT ..................................... 63 
3.4.2. Các nghiên cứu so sánh ........................................................................... 65 
3.4.2.1. Vỏ trụ FG-CNTRC chịu nén dọc trục .............................................. 66 
3.4.2.2. Vỏ trụ FG-CNTRC chịu áp lực ngoài ............................................. 66 
3.4.2.3. Vỏ trụ FG-CNTRC chịu tải cơ kết hợp ............................................ 68 
3.4.3. Vỏ trống và vỏ trụ FG-CNTRC chịu nén dọc trục .................................. 68 
3.4.3.1. Phân tích vồng .................................................................................. 68 
3.4.3.2. Phân tích sau vồng............................................................................ 71 
V 
3.4.4. Vỏ trống và vỏ trụ FG-CNTRC chịu tải cơ kết hợp ............................... 74 
3.4.4.1. Phân tích vồng .................................................................................. 74 
3.4.4.2. Phân tích sau vồng............................................................................ 79 
3.5. Kết luận chương 3 ........................................................................................ 86 
CHƯƠNG 4. ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ VÀ VỎ TRỐNG MỎNG 
FG-CNTRC VỚI CÁC CẠNH BIÊN CHỊU LIÊN KẾT ĐÀN HỒI.................. 88 
4.1. Mô hình kết cấu và các tính chất vật liệu .................................................. 89 
4.2. Các phương trình cơ bản và điều kiện biên ............................................... 89 
4.3. Nghiệm giải tích của bài toán ổn định ........................................................ 89 
4.4. Các kết quả số và thảo luận ......................................................................... 93 
4.4.1. Các nghiên cứu so sánh ........................................................................... 94 
4.4.2. Vỏ trụ FG-CNTRC chịu nhiệt độ tăng đều ............................................. 96 
4.4.2.1. Phân tích vồng .................................................................................. 96 
4.4.2.2. Phân tích sau vồng............................................................................ 98 
4.4.3. Vỏ trụ FG-CNTRC đặt trong các trường nhiệt độ và chịu áp lực 
ngoài ................................................................................................................ 100 
4.4.3.1. Phân tích vồng ................................................................................ 100 
4.4.3.2. Phân tích sau vồng.......................................................................... 102 
4.4.4. Vỏ trống FG-CNTRC đặt trong môi trường nhiệt và chịu áp lực 
ngoài ................................................................................................................ 104 
4.4.4.1. Phân tích vồng ................................................................................ 104 
4.4.4.2. Phân tích sau vồng.......................................................................... 105 
4.5. Kết luận chương 4 ...................................................................................... 108 
CHƯƠNG 5. ỔN ĐỊNH TUYẾN TÍNH CỦA VỎ TRỤ VÀ VỎ TRỐNG FG-
CNTRC SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC NHẤT .......... 110 
5.1. Mô hình kết cấu và các tính chất vật liệu ................................................ 111 
5.2. Các phương trình cơ bản và điều kiện biên ............................................. 111 
5.3. Nghiệm giải tích của bài toán ổn định tuyến tính ................................... 114 
5.3.1. Vỏ trống FG-CNTRC với các cạnh tựa di động chịu các tải cơ kết 
hợp ................................................................................................................... 116 
VI 
5.3.2. Vỏ trống FG-CNTRC với các cạnh chịu liên kết đàn ... 23 54 34 43
66
1
s s s s s
s
 , 
 46 53 34 64 23
66
1
s s s s s
s
 , 3456
66
s
s
s
 , 14 1317
67
s s
s
s
 , 27 33 24 44 13
67
1
s s s s s
s
 , 
 37 13 54 24 43
67
1
s s s s s
s
 , 47 53 24 64 13
67
1
s s s s s
s
 , 2457
67
s
s
s
 , (A4) 
 66 67 23 24 34 13s s s s s s . 
+) Các hệ số 
8 ( 1 8)js j  trong phương trình (2.32) có biểu thức cụ thể như sau 
 18 15 16 25 17s s s s s , 28 15 26 25 27 35 45 16 55 17s s s s s s s s s s , 
 38 15 36 25 37 45 26 55 27 65s s s s s s s s s s , 48 75 55 37 45 36s s s s s s , 
 58 25 47 15 46 95s s s s s s , 68 85 45 46 55 47s s s s s s , (A5) 
 78 15 56 25 571s s s s s , 88 55 57 45 56s s s s s . 
Phụ lục B 
+) Các hệ số 1ia ( 1 4i  ) trong công thức (3.24) có dạng cụ thể như sau 
2
12
11 13
11
e
a e
e
 , 
2
22
21 23
21
e
a e
e
 , 32 12 22
41
31 11 11
2
e e e
a
e e e
153 
2 2 2
32 12 22
31 33 21 13 12 23
31 11 21
4
e e e
a e e e
e e e
 
 . (B1) 
+) Các hệ số 
2ja ( 1 6j  ) trong phương trình (3.26) có dạng cụ thể như sau 
 11
12
72
e
a
a
 , 22 21 11 12 21
31 72
1 1
a e e
e a
  , 2132
72
e
a
a
 , 
 1242 11 22 12 21
72
a e e e e
a

 , 3252 11 22 12 21
11 21 31
1
2
e
a e e e e
e e e
 , (B2) 
 2162 12 21 11 22
72
a e e e e
a

 , 72 12 21 11 211a e e  . 
+) Các hệ số 
3 ( 1 4)ja j  và 4 ( 1 3)ka k  trong các phương trình (3.30) có dạng 
cụ thể như sau 
 4 4 2 2 2 213 11 21 31 1 2m n m n m na a a a k k      
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
42 52 62 414 2 2 4
12 22 32
1 m n m n
m m n n m n
m m n n
a a a a
a a a R a R a
   
     
   
2 2 2 2
2 2 4 4
23 41 52 42 624 2 2 4
12 22 32
2 2m n m n m n m n
m m n n
a a a a a
a a a R a
   
   
   
2
2
42
12
4
16
16
n
ma
a R


 , 
4 4
33
32 1216 16
m na
a a
 
 , 
4 4 4 4
43 4 2 2 4 4 2 2 4
12 22 32 12 22 3281 9
m n m n
m m n n m m n n
a
a a a a a a
   
       
 , 
4 2 2
14 11 1 2 42
12
3 1 1
4 4
4 4
m m ma a k k a
a R R
  
 , (B3) 
2 2 2 2 2
4 2 2 4
24 42 52 624 2 2 4
1212 22 32
162
m n m n n
m m n n
m m n n
a a a a
R a a Ra a a
    
   
   
 , 
4 4 4 4
34 4 2 2 4 4 2 2 4
12 22 32 12 22 322 2 81 9
m n m n
m m n n m m n n
a
a a a a a a
   
       
. 
+) Các hệ số 1 ( 1 5)if i  , 2 ( 1 8)jf j  và 3 ( 1 8)kf k  trong các phương trình 
(3.33) có biểu thức cụ thể như sau 
154 
 1 011 12 21 212 4
1
1
2 2
m
h h
K E
f e
R R
  , 
2
21 12 21 213
1
8 h
n
f e
R
  , 
 12 21
31
11
a
h h
Re
f
R e R

 , 41 11 21 12 21 11
11
1
T T
h
f e e e e
R e
 , 
 51 11 22 12 21 12
11
1
T T
h
f e e e e
R e
 , 
4 4 4 2 2 2 2 2 2
0 0
12 11 21 31 1 24 4 4 4 2 4 2 2 2 2
m m
h R h h R h h h R h
E Em n m n m n
f a a a K K
R L R R L R R R L R
22 2 4 4 2 2 2 4
42 52 623 2 3 4 4 4 2 4
a
h R h h R h R h
n Rm m m n n
a a a
R L R R L R L R
2 2 2 2 2 2 2 2 4
41
4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 32
R h R h a R
R R
a m n L m R L n R R L
a m a m n L a n L
 , 
2
22 21 12 213
1
h
n
f e
R
  , 
4 4 4 2 4 2 2
32 414 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 32
1
R h a
h R R
f a m n m n L R R
R a m a m n L a n L
22 2 4 4 2 2 2 4
4 2 4 2 2 2 4 2
42 52 623 2 3 4 4 4 2 4
a
h h R
h R h h R h R h
n Rm m m n n
m n R m n R L a a a
R L R R L R L R
2 2 2 2
21
42 12 212 2 2 3
12
4
16 1
16 2h h h R h
n m n e
a
a R R R L R
 
 , 
4 4 4 4
21
42 12 214 4 4 4
32 12
1
16 16 8h R h h
m n n e
f
a R L a R R
  , 
4 4 4
52 4 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 32h R R
m n
f
R a m a m n L a n L
4 4 4
4 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 3281 9h R R
m n
R a m a m n L a n L
 , 
2 2 2
21
62 122 2 2
11h R h
m n e
f
R L R e
 , 
2
72 11 21 12 21 112
11
T T
h
n
f e e e e
R e
 , 
2
82 11 22 12 21 122
11
T T
h
n
f e e e e
R e
 , 0 2113 1 12 214 2 1
m
h h
E e
f K
R R
  , (B4) 
4 4
021
23 12 21 11 12 4 4 4
3
1 4
2 4
m
h h R h
Ee m
f a K
R R L R
  
2 2 2 2
0
2 424 2 2 2
12
1 1
4
4
m
h R h h R h
m E m
K a
R L R a R L R
 , 
155 
2 2 2 2 2 2
21
33 12 213 3 4 4 2 2 2 2 4 4
12 12 22 32
1
8 16 2
R
h h R R
n e n m n L
f
R a R a m a m n L a n L
 
22 2 4 4 2 2 2 4
42 52 623 2 3 4 4 4 2 4
a
h R h h R h R h
n Rm m m n n
a a a
R L R R L R L R
 , 
4 4 4
43 4 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 322 h R R
m n
f
R a m a m n L a n L
4 4 4
4 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 322 81 9h R R
m n
R a m a m n L a n L
 , 
2 2
53 2 2
h R
m
f
R L
 , 12 21
63
11
a
h h
R e
f
R R e

 , 73 11 21 12 21 11
11
1
T T
h
f e e e e
R e
 , 
 83 11 22 12 21 12
11
1
T T
h
f e e e e
R e
 . 
+) Các hệ số 4 5, ( 1 7)i if f i  trong các phương trình (3.35) được cho như sau 
 14 21 32 11 42
84
1
f f f f f
f
 , 21 5224
84
f f
f
f
 , 34 21 62 31 42
84
1
f f f f f
f
 , 
 44 21 72 41 42
84
1
f f f f f
f
 , 4254
84
f
f
f
 , 12 2164
84
f f
f
f
 , 74 21 82 51 42
84
1
f f f f f
f
 , 
 15 11 32 11 22
85
1
2f f f f f
f
 , 11 5225
85
2
f f
f
f
 , 35 11 62 31 22
85
1
2f f f f f
f
 , (B5) 
 45 11 72 41 22
85
1
2f f f f f
f
 , 2255
85
f
f
f
 , 11 1265
85
2
f f
f
f
 , 75 11 82 51 22
85
1
2f f f f f
f
trong đó 
 84 85 11 42 21 222f f f f f f (B6) 
+) Các hệ số 6 ( 1 8)jf j  , 76 86,f f trong công thức (3.37) có các dạng cụ thể như sau 
 16 33 35 13 34 63 13 54 33 55 1f f f f f f f f f f , 26 53 43 35 43 55f f f f f f , 
36 33 65 13 64f f f f f , 46 13 14 23 33 15 43 65f f f f f f f f , 
 56 13 24 33 25 43 15f f f f f f f , 66 43 25f f f , 76 33 45 13 44 73f f f f f f , (B7) 
 86 43 45f f f , 76 33 75 13 74 83f f f f f f , 86 43 75f f f . 
156 
Phụ lục C 
+) Các hệ số 1 ( 1 4)ib i  , 2 ( 1 6)jb j  và 3 ( 1 9)kb k  trong các phương trình 
(4.6a) – (4.6c) có dạng cụ thể như sau 
 1 011 12 21 21 21 12 21 112 4 2
1
1
2 2 2
m
a a
h h h
K E
b e R e e R
R R R

    , 
2
2 2 2 2
21 12 21 21 21 12 21 113 3 2
1
8 8
R a
h h R
n
b e n L m e e R
R R L

    , 
2 2
31 12 21 113 24
a
h R
m
b e e R
R L
 
 , 11 21 12 21 11 1141 12 21 11
11 11
T T T
a
h h
e e e e e
b e e R
e R e R
 

 , 
4 4 4 2 2 2 2 2 2
0 0
12 11 21 31 1 24 4 4 4 2 4 2 2 2 2
m m
h R h h R h h h R h
E Em n m n m n
b a a a K K
R L R R L R R R L R
22 2 4 4 2 2 2 4
42 52 623 2 3 4 4 4 2 4
a
h R h h R h R h
n Rm m m n n
a a a
R L R R L R L R
2 2 2 2 2 2 2 2 4
41
4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 32
R h R h R a
R R
a m n L m R L n R L R
a m a m n L a n L
 , 
2 2 2
2 21
22 21 12 21 11 21 123 3 2
11
1 a
h h R
n m e
b e e R n
R R L e
 
   
4 4 4 4 2 4 2 4 2 2
32 414 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 32
1
h R h a
h R R
b a m n m n R m n L R R
R a m a m n L a n L
22 2 4 4 2 2 2 4
2 2 2 4 2
42 52 623 2 3 4 4 4 2 4
a
h R
h R h h R h R h
n Rm m m n n
m n R L a a a
R L R R L R L R
2 2 2 2 2 2
221 21
42 12 21 11 21 212 2 2 3 3 2
12 11
4
16 1
16 2 2
a
h h h R h h R
n m n e m e
a e R n
a R R R L R R L e
  
   
4 4 4 4 2 2
2 2 2 2 221 11 21
42 12 21 21 124 4 4 4 4 2 2
32 12 11
1
16 16 8 8
R
h R h h h R R
m n n e e m e
b n L m n
a R L a R R R L L e
  
   
4 4 4 4 4 4
52 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 32 12 22 3281 9h R R h R R
m n m n
b
R a m a m n L a n L R a m a m n L a n L
2 2 2 2
211 21
124 2 2
114 h R R
e m m e
n
R L L e
 

 , 
157 
2 2 2
211 21
62 11 21 12 21 11 122 2 2
11 11
T
T T
h h R
n e m e
b e e e e n
e R R L e
 
 
 , 
 0 2113 1 12 21 12 21 11 214 2 21
m
a a
h h h
E e
b K e e R R
R R R

    , (C1) 
2 24 4 2 2
0 021
23 12 21 11 1 2 422 4 4 4 4 2 2 2
12
3 1 1
1 4 4
2 4 4
m m
h h R h h R h h R h
E m Ee m m
b a K K a
R R L R R L R a R L R
 
 12 21 11 2122 a ah
e e R R
R

  , 
2 2
2 2 2 221
33 12 21 12 21 11 213 3 3 2
12
1
8 16 8
a R
h h h R
n e n
b e e R n L m
R a R R L

    
22 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 4
42 52 623 2 3 4 4 4 2 44 4 2 2 2 2 4 4
12 22 322
aR
h R h h R h R hR R
n Rm n L m m m n n
a a a
R L R R L R L Ra m a m n L a n L
2 2
43 12 21 11 11 213 2
2
4
a a
h R
m
b e e R e R
R L
 
  , 
2 2
53 11 213 2 a
h R
m
b e R
R L
 
 , 
4 4 4
63 4 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 322 h R R
m n
b
R a m a m n L a n L
4 4 4 2 2
2 2 2 211
214 44 4 4 2 2 2 2 4 4
12 22 32
82 81 9
R
h Rh R R
m n e m
n L m
R LR a m a m n L a n L
  
 
 , 
 1173 11 21 12 21 11 12 21 11
11 11
1 T
T T a
h h
e
b e e e e e e R
e R e R

  , 
2 2
83 11 2 2T
h R
m
b e
R L
 , 
4 4
11
93 4 44 h R
e m
b
R L
 . 
+) Các hệ số 4ib và 5ib ( 1 5i  ) trong các phương trình (4.8a) và (4.8b) có dạng cụ 
thể như sau 
 14 24 34 44 54 21 32 11 42 31 42 21 52 21 62 41 42 42 21 12
64
1
, , , , , , , ,b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
 15 25 35 45 55 11 32 11 22 31 22 11 52 11 62 41 22 22 11 12
65
1
, , , , 2 , 2 ,2 , ,2b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
64 65 11 42 21 222b b b b b b . (C2) 
+ Các hệ số 6ib ( 1 8i  ) trong phương trình (4.9) có dạng chi tiết như sau 
 16 33 45 13 441b b b b b , 26 53 44 63 45b b b b b , 36 33 55 13 54b b b b b , 
 46 13 14 23 33 15 53 54 63 55b b b b b b b b b b , 
158 
 56 13 24 43 33 25 53 14 63 15b b b b b b b b b b , 
 66 63 25 53 24 93b b b b b b , (C3) 
 76 33 35 13 34 73b b b b b b , 86 83 53 34 63 35b b b b b b . 
Phụ lục D 
+) Các hệ số 1 ( 1 5)
fs
ia i  trong phương trình (5.10) có dạng cụ thể như sau 
2
12
11 13
11
fs ea e
e
 , 
22
3222
21 12 23 12 33
21 31
2 2fs
ee
a e e
e e
  , 
2
22
41 23
21
fs ea e
e
 , 
22
3212
31 21 13 21 33
11 31
2 2fs
ee
a e e
e e
  , 3212 2251
11 31 21
2fs
ee e
a
e e e
 . (D1) 
+) Các hệ số 2
fs
ja ( 1 7j  ) trong phương trình (5.12) có dạng như sau 
 11
12
82
fs
fs
e
a
a
 , 22 21 11 12 21
31 82
1 1fs
fs
a e e
e a
  , 2132
82
fs
fs
e
a
a
 , 1242 12 21 11 22
82
fs
fs
a e e e e
a

 , 
 3252 12 21 12 21 11 22
31 82
1fs
fs
e
a e e e e
e a
  , 2162 11 22 12 21
82
fs
fs
a e e e e
a

 , (D2) 
 3272 12 21 11 22 12 21
31 82
1fs
fs
e
a e e e e
e a
  , 82 12 21 11 211
fsa e e  . 
+) Các hệ số ( 1 3, 2 4)ijb i j   trong công thức (5.17) được cho như sau 
4 2 2 4
11 12 22 32
fs fs fs
m m n nb a a a    , 
3 2
21 42 72
fs fs
m m nb a a   , 
2 3
31 52 62
fs fs
m n nb a a   
 2321212
11 31
m n
ee
b
e e
 
, 
22
2 23212
22 13 33 41
11 31
m n S
ee
b e e K e
e e
 
 , 
22
3212
32 21 13 33
11 31
m n
ee
b e e
e e
  
 , 2322213
21 31
n n
ee
b
e e
 
 , 
22
3222
23 12 23 33
21 31
m n
ee
b e e
e e
  
 , (D3) 
2 2
2 232 22
33 33 23 51
31 21
m n S
e e
b e e K e
e e
 
 , 
 14 11 22 33 23 32 21 13 32 12 33 31 12 23 13 22b b b b b b b b b b b b b b b b , 
 24 22 33 23 32b b b b b , 
 34 41 31 23 21 33 51 21 32 31 22m n Sb e b b b b e b b b b K  .